Seien X,Y Mengen und X ⊂ Y. Wie zeige ich, dass Y \ ( Y \ X )= X gilt?
Mengengleicheit zeigt man immer so:
Man denke sich ein x aus der einen Menge und zeigt dass es
dann auch in der anderen ist und umgekehrt.
Sei also x aus Y \ ( Y \ X ).
Dann ist x aus Y und x nicht in Y \ X .
↔ x aus Y und nicht [ ( x aus Y ) und ( x nicht aus X ) }
↔ x aus Y und [ ( x nicht aus Y ) oder ( x aus X ) } ]
weil das rote sicher falsch ist ; denn x ist ja aus Y
↔ x aus Y und ( x aus X )
wegen der Teilmengeneigenschaft, also x aus X.
Damit ist der 1. Teil gezeigt.
Sei nun x aus X. Dann ist jedenfalls nicht x aus Y \ X.
Aber, da X ⊂ Y. ist x aus Y, also gilt
x aus Y und nicht x aus Y \ X.
also x aus Y \ ( Y \ X ).
