Implikation als Pfeil oder Doppelpunkt schreiben?

Question

Ich stelle mir gerade ein Frage und bin mir nicht ganz sicher, ob es da einen Unterschied gibt.

Gibt es einen Unterschied zwischen folgenden beiden Darstellungen?

$$A\subseteq B:\Leftrightarrow \forall x\in A:x\in B$$ und $$A\subseteq B:\Leftrightarrow \forall x\in A\Rightarrow x\in B$$

Bei Rechnungen selbst sollte es ja zwischen ":" und "⇒" einen Unterschied geben, doch gibt es auch einen bei Definitionen wie diese? Ich wäre dankbar über eine Hilfe

:D

Answer 1

" : ⇔ " bedeutet " ist per Definition gleichwertig mit" :

Da " ∀ x∈A → x∈B " tatsächlich keine Aussage ist, muss es

A ⊆ B   :⇔    ∀ x:  x∈A → x∈B  heißen.

Die erste Aussage ist richtig.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Die zweite ist falsch.

∀x∈A ist keine Aussage. Deshalb kann ∀x∈A nicht Prämisse einer Implikation sein.

∀x : x∈A ⇒x∈B würde gehen. Und streng formal betrachtet ist tatsächlich ∀x∈M : φ(x) eine Abkürzung für ∀x x∈M ⇒ φ(x) (der Doppelpunk zur Trennung von Quantoren und qantorenfreiem Teil wird ebenfalls weggelassen).

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