Seien M , N Mengen und f : M → N eine Abbildung. Zeigen Sie:

Question

(a) Ist f injektiv so ist die Zuordnung f´:M->f(M),m↦f(m) eine wohldefinierte bijektive Abbildung.
(b)Ist M eine endliche Menge und f nicht injektiv so gilt l f(M) l < l M l
Hinweis:zeigen sie dies per Induktion nach n= l M l
(c) Ist M eine endliche Menge und M=N, so ist f genau dann injektiv wenn,f surjektiv ist.

Hinweis: verwenden sie Aufgabenteile a und b sowie M=f(M)∪(M\f(M))
(über dem vereinigungszeichen gehört noch ein punkt soll dann wohl disjunkte vereinigung bedeuten)

zu a) wohldefiniert bedeutet doch das für jedes x∈X ein y∈Y zugeordnet wird
allerdings keine Ahnung wie ich des zeigen soll

Bin für jede Hilfe dankbar bin in der 2. Woche Mathestudium und deshalb noch etwas ratlos und die Übungsblätter erscheinen mir doch sehr schwierig

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Lass mich raten, Uni Heidelberg, LA1? Mit der Aufgabe quäle sich gerade alle rum... Es ist so logisch, aber wie das mathematisch korrekt in einem Beweis ausgedrückt werden soll ist nach wie vor ein wenig ominös. In diesem Sinne: Danke für's fragen und danke für's antworten!

Answer 1

(a) Ist f injektiv so ist die Zuordnung f´:M->f(M),m∈f(m) eine wohldefinierte bijektive Abbildung.

zu a) wohldefiniert bedeutet doch das für jedes x∈X ein y∈Y zugeordnet wird
Genau so ist es:
Und wenn injektiv ist, dann gibt es zu jedem x∈M
genau ein y∈N und dies y ist sogar aus f(M),
Also ist alles wohldefiniert und injektiv nach Vor. und
surjektiv, weil genau alle y aus f(M) . Also bijektiv.

(b)Ist M eine endliche Menge und f nicht injektiv so gilt l f(M) l < l M l
Hinweis:zeigen sie dies per Induktion nach n= l M l

Für M={ } oder einelementig gibt es keine nicht injektiven Abb.en.

Also erstmal für |M|=2 etwa { a;b}  . f nicht injektiv heißt  f(a) = f(b)

Und dieses Element ist das einzige in f(M), also |f(M)| = 1 < 2.

Induktionsschritt: Für n-elementige Mengen sei die Aussage wahr.

Sei nun M eine Menge mit n+1 Elementen und f nicht injektiv.

Dann gibt es zwei verschiedene a und b  aus M mit f(a)=f(b).

Dann ist M \ {b} eine n-elementige Menge und nach Ind.vor,

also | f ( M \ {b} ) | < | M \ {b} | = n

und da f(b) , weil es gleich f(a) ist, schon in f( M \ {b} ) enthalten ist,

ist also f(M) = f(M \ {b})  also | f(M) | = | f ( M \ {b} ) | < | M \ {b} | = n < n+1 = |M|.

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Danke dir das ist super hilfreich !