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Für ϑ∈ℕ0 bezeichen  Pϑ die uniforme Verteilung auf ℤ ∩ ⌈-ϑ,ϑ⌉.

Zeigen Sie, dass dann S : x ↦ l x l suffizient für (  Pϑ : ϑ∈ℕ0 ) ist, indem Sie

(a) durch direkte Rechnung nachweisen, dass für alle geeigneten k, m die Wahrscheinlichkeit 

Pϑ  ⌈X= k Ι S = m⌉ nicht von ϑ abhängt ( wobei X die Identität auf ℤ sei )

(b) das Neymansche Faktorisierungskriterium nachprüfen.


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Es gilt für \(k\in\mathbb{Z}\cap[-\theta,\theta]:~ P_\theta(X = k) = \frac{1}{2\theta + 1} \), da \( |\mathbb{Z} \cap [-\theta, \theta] | = 2\theta + 1 \). Unterscheide nun zwei Fälle:

1. \( |k|\neq m\): Dann gilt für alle \(\theta\in\mathbb{N_0} \)

$$ P_\theta(X = k ~|~ S = m) = P_\theta(X=k ~|~ |X|=m) = \frac{P_\theta(X=k, |X|=m}{P_\theta(|X|=m)} = \frac{0}{P_\theta(|X|=m} = 0. $$

2. \(|k|=m\): Dann gilt für alle \(\theta\in\mathbb{N_0} \)

$$ P_\theta(X=k ~|~ |X|=m) = \frac{P_\theta(X=k, |X|=m)}{P_\theta(|X|=m)} = \frac{\frac{1}{2\theta + 1}}{\frac{2}{2\theta + 1}} = \frac{1}{2} .$$

In beiden Fällen ist das Endergebnis unabhängig von \(\theta\), also ist \(S\) suffizient.

Nun das ganze mit dem Fisher-Neyman Kriterium (da bin ich mir allerdings nicht ganz sicher, wirkt irgendwie zu einfach):

Zu zeigen: Es existieren messbare Funktionen \(g_\theta\) und \(h\), sodass \(P_\theta(X=k)=g_\theta(S(k))h(k)\).

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$$ g_\theta(k)=\frac{\mathbb{I}_{\mathbb{Z} \cap [-\theta, \theta]} (k)}{2\theta +1} \text{ und } h(k)=1 $$

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Vielen Dank

LG Jameel

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