Question

Beweisen Sie, dass für beliebige Mengen A, B, C gilt:

Falls A⊆B, B⊆C und C⊆A, sind die Mengen A,B, und C identisch.

Answer 1

Durch die Voraussetzungen ist
$$ A \subset B \subset C \subset A \subset B \subset C $$ gegeben.
Damit gilt $$ A \subset B \text{ und } B \subset A \text{ also } A = B $$
Ebenso kann man für die Mengen \( B \) und \( C \) argumentieren.
Daraus folgt \( A = B = C \)

Comments

Schließt A⊆B auch gleich ein, dass B⊆A ist?

Weil wenn eine Menge A={1;2;3} udn die Menge B={1;2;3;4;5; . . .} ist, dann ist A⊆B aber umgekehrt nicht, oder liege ich da falsch?

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Das kommt auf die Fragestellung an.
Wenn im Text stehen würde "A ist eine Teilmenge von B", dann enthält B Elemente, die nicht in A sind.

Ja, du liegst richtig, da Elemente in B enthalten sind, die nicht in A sind.

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Na also die Fragestellung ist halt ganz genau:

Beweisen Sie, dass für beliebige Mengen A, B, C gilt: 

Falls A⊆B, B⊆C und C⊆A, sind die Mengen A,B, und C identisch.

Und dadrunter steht als Hinweis: Wenden Sie die Eigenschaften der Inklusion an.

Und ich habe als Ansatz das Gesetz der Transitivität angewand, also:

∀A,B,C gilt: A⊆B ^ B⊆C ⇒ A⊆C

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Ich habe mich zuvor auf ein Beispiel bezogen.
Wenn A ⊂ B, B ⊂ C, C ⊂ A sind die Mengen natürlich identisch.

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Also sie sind Identisch, ja?
Aber wie beweist man das denn? Auch wenn das so eine Selbstverständlichkeit ist weiß ich nicht warum sie identisch sind.

Tut mir wirklich leid, dass ich das nicht so ganz verstehe q___q

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Kein Problem, ich bin selbst Ersti und verzweifle manchmal schon an den einfachsten Dingen.

Ich beziehe mich noch einmal auf die Antwort von ullim:

Wenn A eine Teilmenge von B ist, und B eine Teilmenge von A ist, dann folgt daraus,
dass alle Elemente aus A, auch alle Elemente aus B sind. Daraus hat ullim A = B gefolgert.
Ist ja auch logisch, denn in beiden Mengen sind jeweils die selben Elemente enthalten.
Ein Beispiel wäre A = {1,2,3} und B = {2,3,1}. Hier sind jeweils die selben Elemente
enthalten. Die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Mengen ist egal (Merken!).

Was ist denn jetzt, wenn B eine Teilmenge von C ist, und C eine Teilmenge von A?
Versuche das nun mal wörtlich zu begründen, und dann Formal :-)

Gruß

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Ahh, denn sind wir ja so eine Art von Kollegen, wie cool~

Dann würde C ebenfalls die Elemente aus A und B enthalten. . . Und ich glaube jetzt habe ich es: Wenn C dann eine Teilmenge von A ist, dann darf A ja nicht weniger Elemente als B und/oder C haben, und so müssten die Mengen also wirklich gleich sein, oder?

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Exakt, C enthält auch alle Elemente aus A und B.
Und daraus folgt nun, dass A = B = C.

Zu deiner Frage:
Wir haben bereits gezeigt, dass A und B gleich sind, also A = B.
Wenn B nun eine Teilmenge von C ist, dann heist das auch, dass A eine Teilmenge von C ist (Siehe Schlussfolgerung A = B). Als nächstes folgt, dass C eine Teilmenge von A ist. Und wie wir bereits wissen, dass wenn C eine Teilmenge von A ist, und A eine Teilmenge von C ist, folgt A = C.
Daraus folgt dann insgesamt, dass A = B = C ist :-)

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Danke, ihr wart mir eine große Hilfe, ich glaube ich habe es sehr gut jetzt verstanden, danke! :D

Hoffentlich könnt ihr mir auch in Zukunft viel weiter helfen, und ich dann auch mal jemand anderem~