Anteil der sonnigen Tage bestimmen; Markov-Kette

Question

ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann:

In einer Stadt entwickelt sich das Wetter nach folgendem Mechanismus, wobei das Wetter von morgen in folgender Weise abhängt vom heutigen und vom gestrigen Wetter:

Falls es gestern sonnig war und heute sonnig ist, dann wird es morgen sonnig sein mit Wahrscheinlichkeit 0.8 und bewölkt sein mit Wahrscheinlichkeit 0.2.

Bestimme den Anteil der sonnigen Tage!

Als Hinweis wird mir vorgegeben, dass man den Vorgang als Markov-Kette auf den Zuständen (sonnig, sonnig), (sonnig, bewölkt) etc. betrachten.

Könnte mir jemand einen Ansatz geben?

Answer 1

1. Erstelle eine Übergangsmatrix M.

   Die Spalten der Übergangsmatrix bezeichnen den aktuellen Zustand (in deinem Fall Wetter von heute und gestern). Die Zeilen bezeichnen den Folgezustand (in deinem Fall Wetter von morgen und heute).

   Die Einträge geben den Anteil der Übergänge zwischen den Zuständen an.

   Zustände:

   • SS (früher sonnig, derzeitig sonnig)
   • BS (früher bewölkt, derzeitig sonnig)
   • SB (früher sonnig, derzeitig bewölkt)
   • BB (früher bewölkt, derzeitig bewölkt)

   > Falls es gestern sonnig war und heute sonnig ist, dann wird es morgen sonnig sein mit Wahrscheinlichkeit 0.8

   "gestern sonnig und heute sonnig" ist SS. Zu "heute sonnig und morgen sonnig" wird man morgen sagen "gestern sonnig und heute sonnig", also auch SS. In Spalte SS, Zeile SS  der Matrix kommt daher eine 0,8.
   

   > Falls es gestern sonnig war und heute sonnig ist, dann wird es morgen ... bewölkt sein mit Wahrscheinlichkeit 0.2.
   

   In Spalte SS, Zeile SB  der Matrix kommt daher eine 0,2.
   

   In der Aufgabenstellung sollten eigentlich noch mehrere Regeln angegeben sein.  Fülle aufgrund dieser Regeln die Matrix weiter aus. Du solltest eine Matrix erhalten, in der die Summe jeder Spalte 1 ist. Gibt es keine Regel für einen Übergang zwischen zwei Zuständen, dann hat der entsprechende Eintrag in der Matrix den Wert 0.
   

2. Prüfe ob eine geeignete Grenzmatrix lim_n→∞Mⁿ existiert.

   Berechne M⁴ (wegen der vier Zustände). Gibt es in dieser Matrix eine Zeile, in der kein Eintrag 0 ist, dann existiert eine geeignete Grenzmatrix.
   

3. Berechne einen Fixvektor v_fix=(v₁ v₂ v₃ v₄)^T.

   Dazu musst du das Gleichungssystem M·v_fix = v_fix lösen.

   Das Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung. Allerdings bist du auch nur an einem spziellen Fixvektor interessiert, nämlich an dem mit v₁+ v₂ + v₃ +v₄ = 1. Füge diese Gleichung dem Gleichungssystem hinzu und entferne stattdessen eine andere Gleichung.

   Die Lösung ist die sogenannte Grenzverteilung. Sie gibt dir die Anteile der einzelnen Zustände auf lange Sicht an. Der Anteil an sonnigen Tagen ist dann die Summe der Zustände SS und BS.

   Mathematisch formuliert ist v_fix der Grenzwert lim_n→∞(Mⁿ·x), und zwar egal wie der Startvektor x gewählt wird.

Falls keine geeignete Grenzmatrix existiert, dann kann die Aufgabe nicht eindeutig gelöst werden. Entweder existiert lim_n→∞(Mⁿ·x) für einige Startverteilung nicht (dann ist die Markovkette periodisch), oder lim_n→∞(Mⁿ·x) hat unterschiedliche Werte für unterschiedliche Startverteilungen (dann existiert zwar die Grenzmatrix lim_n→∞Mⁿ, aber die Markovkette ist nicht irreduzibel).