Ungleichung: -1/|x²-1| >= -3

Question

Siehe Bild. Ich habe für 3 von 4 Fällen etwas sinnvolles rausbekommen nur für diesen Fall bekomme ich etwas falsches raus. Im Bild sieht man jenen Fall. Das Ergebnis ist definitiv falsch. Wo liegt der Fehler?

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EDIT: Ich habe den Fehler gefunden: Ich hab das Ungleichheitszeichen einmal zuviel umgedreht, denn -(x²-1) ist ja in diesem Fall ein positiver Term.

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EDIT: Und 0 gehört noch dazu.

Answer 1

Hier mal ein Versuch, die Betragsungleichung mit möglichst späten
Fallunterscheidungen und jeweils äquivalenten Umformungen zu lösen:$$(0)\quad -\frac{ 1 } { \left|x^2-1\right|} \ge -3$$Offenbar sind beide seiten stets negativ, wir können also äquivalent umformen,
indem wir beide Seiten durch ihre negativen Kehrwerte ersetzen. Dies ergibt$$(1)\quad \left|x^2-1\right| \ge \frac 13$$Dem Betrag entspricht nach seiner Definition:$$(2)\quad x^2-1 \le -\frac 13\quad\lor\quad x^2-1 \ge \frac 13$$Diese reinquadratischen Ungleichungen vereinfachen wir zu$$(3)\quad x^2 \le \frac 23\quad\lor\quad x^2 \ge \frac 43$$und lösen sie auf:$$(4)\quad x \le -\sqrt{ \frac 43 } \quad\lor\quad -\sqrt{ \frac 23 } \le x \le \sqrt{ \frac 23 } \quad\lor\quad \sqrt{ \frac 43 } \le x.$$

Answer 2

ich kann deine Berechnungen fast nicht entziffern.
Hier meine Berechnungen

Hier der Graph. Alles was unterhalb der x-Achse ist
gehört nicht zur Lösung.

mfg Georg

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Abgesehen davon, davon dass ich die Fehler schon gefunden habe, ist deine Lösung nicht vollständig. −√(2/3), √(2/3), - √(4/3) und √(4/3) sind alle Teil der Lösungsmenge.