Komplexe Zahlen. Alle Lösungen der Gleichung bestimmen

Question

Aufgabenstellung: Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung in Polardarstellung.

Gleichung:

(z*)³ = z²

Als Ansatz muss man doch die Formel:  ⁿ√(|z|) × e^iφ÷n × e^2πi(k÷n)   nehmen oder?

aber wie komme ich auf |z|?

und muss ich die gleichung vorher umformen und wenn ja wie?

Für einen Lösungsweg wäre ich sehr dankbar.

Comments

Was  ist  z* ? Ich meine den Stern

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Vielleicht "konjugiert". Aber das weiss  franzi123 am besten.

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das bedeutet das komplex konjugierte von z

also wenn z= x+iy dann z* = x-iy

und z= e^iφ  z*= e^i(-φ)

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https://www.matheretter.de/rechner/latex?tex=%24%24%5Cleft(%20r%20e%5E%7B-i%20%5Cphi%7D%5Cright)%5E3%3D%20%5Cleft(%20r%20e%5E%7Bi%20%5Cphi%7D%5Cright)%5E2%5C%5C%0Ar%5E3%3Dr%5E2%20%5CLeftrightarrow%20r%5E3-r%5E2%3D0%20%5C%5C%0Ar%3D0%20%5Cvee%20r%3D1%5C%5C%0Ae%5E%7B-3i%5Cphi%7D%3De%5E%7B2i%5Cphi%7D%20%5CLeftrightarrow%20e%5E%7B5i%5Cphi%7D%3D1%5C%5C%0Az_k%3D%5Csqrt%5B5%5D%7B%7C1%7C%7D%20%5Cexp%7B%5Cleft(%5Cfrac%7Bi%20%5Cphi%7D%7B5%7D%2Bk%5Cfrac%7B2%20%5Cpi%20i%7D%7B5%7D%5Cright)%7D%2C%20(k%3D0%2C1%2C2%2C3%2C4)%24%24

Lösungen kannst du hier vergleichen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Conjugate%28z%29%5E3%3Dz%5E2

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$$\left( r e^{-i \phi}\right)^3= \left( r e^{i \phi}\right)^2\\ r^3=r^2 \Leftrightarrow r^3-r^2=0 \\ r=0 \vee r=1\\ e^{-3i\phi}=e^{2i\phi} \Leftrightarrow e^{5i\phi}=1\\ z_k=\sqrt[5]{|1|} \exp{\left(\frac{i \phi}{5}+k\frac{2 \pi i}{5}\right)}, (k=0,1,2,3,4)$$