Seien X; Y Mengen und f : X→Y eine Abbildung.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) f ist injektiv.
(ii) Für A ⊂ X gilt f^{-1}(f(A)) = A.
(iii) Für A , B ⊂ X gilt f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
(i) Also f ist injektiv, ist gleichzusetzen damit:
(ii)dass jeder Funktionswert aus der Teilmenge A, ein zugeordnetes Urbild aus der Abbildung hat ( wo erkennt man, dass es genau ein Bild pro Urbild gibt?) und dass ist äquivalent dazu,
(iii) dass alle Eingabewerte die in Teilmengen A und in Teilmenge B enthalten sind, gleich der Schnittmenge, der resultierenden Funktionswerte ist.
Wie zeige ich das formal?
Aus (i) folgt (ii)
Seien a,b ∈ A
f(a)=f(b)⇒a=b
Aus (ii) folgt (iii)
Aus (iii) folgt (i)
