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Hier die Aufgabe mit meinem Lösungsweg. Ich übe momentan etwas das Beweisen. Ist das hier formal korrekt? Die Äquivalenz ist noch nicht ganz gezeigt, aber schon einmal (i) ⇒ (ii). Ich weiß, dass diese Aufgabe schon einmal hier behandelt wurde, aber es geht mir primär um meinen Lösungsweg.

Seien X,YX,Y Mengen und f : Xf: X\rightarrow eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:

(i) f is injektiv

(ii) f1(f(A))=Af^{-1}(f(A))=A für alle AXA⊂X

(i) ⇒ (ii)

Gleichheit von zwei Mengen:

a) f1(f(A))Af^{-1}(f(A))⊂A

b) Af1(f(A))A⊂f^{-1}(f(A))

Zu a):

Sei xf1(f(A))={xX : f(x)f(A)}x\in f^{-1}(f(A))=\{x\in X : f(x)\in f(A)\}. D. h. es muss mindestens ein aAa\in A geben, das f(x)=f(a)f(x)=f(a) erfüllt. Da ff injektiv ist, folgt aus f(x)=f(a)x=af(x)=f(a)\Longrightarrow x=a. Ferner ist dann x,aAx,a\in A und somit f1(f(A))Af^{-1}(f(A))⊂A

Zu b):

Wie in a) gezeigt ist xAx\in A und deswegen f(x)∈f(A)\colorbox{#AAFFAA}{f(x)∈f(A)}. Dass xf1(f(A))x\in f^{-1}(f(A)) ist, folgt sofort aus der Defintion von f1(f(A))={xX : f(x)∈f(A)}f^{-1}(f(A))=\{x\in X: \colorbox{#AAFFAA}{f(x)∈f(A)}\}.

Ist das soweit ok?

Avatar von 28 k

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Zu b):   Hier würde ich anders beginnen:

Etwa so :  Sei  x∈A.  ==>  f(x)  ∈ f(A) .Dann wie bei dir.

Avatar von 289 k 🚀

Habe ich das bei der b) nicht gemacht? Außer halt statt "⇒" einfach "und deswegen".

Ich fand den Teil:

"Wie in a) gezeigt "

nicht so sinnig.

Den habe ich jetzt auch rausgelassen. Da muss gar nix gezeigt werden.

Sehe ich auch so.

Was hältst du von (ii) ⇒ (i)

Es seien x,x1Xx,x_{1}\in X unter der Annahme, dass f(x)=f(x1f(x)=f(x_{1}. Ferner sei xf1(f({x1})x\in f^{-1}(f(\{x_{1}\}). Wegen f1(f(A))=Af^{-1}(f(A))=A für alle AXA⊂X gilt das auch für f1(f({x1})={x1}f^{-1}(f(\{x_{1}\})=\{x_{1}\}. Und da xf1(f({x1})x\in f^{-1}(f(\{x_{1}\}) ist x{x1}x\in \{x_{1}\} und somit x=x1x=x_{1}

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