Äquivalenz der Aussagen zeigen: f is injektiv und f-1(f(A))=A

Question

Hier die Aufgabe mit meinem Lösungsweg. Ich übe momentan etwas das Beweisen. Ist das hier formal korrekt? Die Äquivalenz ist noch nicht ganz gezeigt, aber schon einmal (i) ⇒ (ii). Ich weiß, dass diese Aufgabe schon einmal hier behandelt wurde, aber es geht mir primär um meinen Lösungsweg.

Seien $X,Y$ Mengen und $f: X\rightarrow$ eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:

(i) f is injektiv

(ii) $f^{-1}(f(A))=A$ für alle $A⊂X$

(i) ⇒ (ii)

Gleichheit von zwei Mengen:

a) $f^{-1}(f(A))⊂A$

b) $A⊂f^{-1}(f(A))$

Zu a):

Sei $x\in f^{-1}(f(A))=\{x\in X : f(x)\in f(A)\}$. D. h. es muss mindestens ein $a\in A$ geben, das $f(x)=f(a)$ erfüllt. Da $f$ injektiv ist, folgt aus $f(x)=f(a)\Longrightarrow x=a$. Ferner ist dann $x,a\in A$ und somit $f^{-1}(f(A))⊂A$

Zu b):

Wie in a) gezeigt ist $x\in A$ und deswegen $\colorbox{#AAFFAA}{f(x)∈f(A)}$. Dass $x\in f^{-1}(f(A))$ ist, folgt sofort aus der Defintion von $f^{-1}(f(A))=\{x\in X: \colorbox{#AAFFAA}{f(x)∈f(A)}\}$.

Ist das soweit ok?

Answer 1

Zu b):   Hier würde ich anders beginnen:

Etwa so :  Sei  x∈A.  ==>  f(x)  ∈ f(A) .Dann wie bei dir.

Comments

Habe ich das bei der b) nicht gemacht? Außer halt statt "⇒" einfach "und deswegen".

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Ich fand den Teil:

"Wie in a) gezeigt "

nicht so sinnig.

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Den habe ich jetzt auch rausgelassen. Da muss gar nix gezeigt werden.

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Sehe ich auch so.

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Was hältst du von (ii) ⇒ (i)

Es seien $x,x_{1}\in X$ unter der Annahme, dass $f(x)=f(x_{1}$. Ferner sei $x\in f^{-1}(f(\{x_{1}\})$. Wegen $f^{-1}(f(A))=A$ für alle $A⊂X$ gilt das auch für $f^{-1}(f(\{x_{1}\})=\{x_{1}\}$. Und da $x\in f^{-1}(f(\{x_{1}\})$ ist $x\in \{x_{1}\}$ und somit $x=x_{1}$