Hier die Aufgabe mit meinem Lösungsweg. Ich übe momentan etwas das Beweisen. Ist das hier formal korrekt? Die Äquivalenz ist noch nicht ganz gezeigt, aber schon einmal (i) ⇒ (ii). Ich weiß, dass diese Aufgabe schon einmal hier behandelt wurde, aber es geht mir primär um meinen Lösungsweg.
Seien X,Y Mengen und f : X→ eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:
(i) f is injektiv
(ii) f−1(f(A))=A für alle A⊂X
(i) ⇒ (ii)
Gleichheit von zwei Mengen:
a) f−1(f(A))⊂A
b) A⊂f−1(f(A))
Zu a):
Sei x∈f−1(f(A))={x∈X : f(x)∈f(A)}. D. h. es muss mindestens ein a∈A geben, das f(x)=f(a) erfüllt. Da f injektiv ist, folgt aus f(x)=f(a)⟹x=a. Ferner ist dann x,a∈A und somit f−1(f(A))⊂A
Zu b):
Wie in a) gezeigt ist x∈A und deswegen f(x)∈f(A). Dass x∈f−1(f(A)) ist, folgt sofort aus der Defintion von f−1(f(A))={x∈X : f(x)∈f(A)}.
Ist das soweit ok?