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Hier die Aufgabe mit meinem Lösungsweg. Ich übe momentan etwas das Beweisen. Ist das hier formal korrekt? Die Äquivalenz ist noch nicht ganz gezeigt, aber schon einmal (i) ⇒ (ii). Ich weiß, dass diese Aufgabe schon einmal hier behandelt wurde, aber es geht mir primär um meinen Lösungsweg.

Seien \(X,Y\) Mengen und \(f: X\rightarrow \) eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:

(i) f is injektiv

(ii) \(f^{-1}(f(A))=A\) für alle \(A⊂X\)

(i) ⇒ (ii)

Gleichheit von zwei Mengen:

a) \(f^{-1}(f(A))⊂A\)

b) \(A⊂f^{-1}(f(A))\)

Zu a):

Sei \(x\in f^{-1}(f(A))=\{x\in X : f(x)\in f(A)\}\). D. h. es muss mindestens ein \(a\in A\) geben, das \(f(x)=f(a)\) erfüllt. Da \(f\) injektiv ist, folgt aus \(f(x)=f(a)\Longrightarrow x=a\). Ferner ist dann \(x,a\in A\) und somit \(f^{-1}(f(A))⊂A\)

Zu b):

Wie in a) gezeigt ist \(x\in A\) und deswegen \(\colorbox{#AAFFAA}{f(x)∈f(A)}\). Dass \(x\in f^{-1}(f(A))\) ist, folgt sofort aus der Defintion von \(f^{-1}(f(A))=\{x\in X: \colorbox{#AAFFAA}{f(x)∈f(A)}\}\).

Ist das soweit ok?

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Zu b):   Hier würde ich anders beginnen:

Etwa so :  Sei  x∈A.  ==>  f(x)  ∈ f(A) .Dann wie bei dir.

Avatar von 287 k 🚀

Habe ich das bei der b) nicht gemacht? Außer halt statt "⇒" einfach "und deswegen".

Ich fand den Teil:

"Wie in a) gezeigt "

nicht so sinnig.

Den habe ich jetzt auch rausgelassen. Da muss gar nix gezeigt werden.

Sehe ich auch so.

Was hältst du von (ii) ⇒ (i)

Es seien \(x,x_{1}\in X\) unter der Annahme, dass \(f(x)=f(x_{1}\). Ferner sei \(x\in f^{-1}(f(\{x_{1}\})\). Wegen \(f^{-1}(f(A))=A\) für alle \(A⊂X\) gilt das auch für \(f^{-1}(f(\{x_{1}\})=\{x_{1}\}\). Und da \(x\in f^{-1}(f(\{x_{1}\})\) ist \(x\in \{x_{1}\}\) und somit \(x=x_{1}\)

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