Du musst die Eigenschaften einer totalen Ordnung prüfen:
1. x ~ x für alle x aus No.
also prüfen, ob gilt: Für jedes x aus No gibt es ein k mit x = (2k+1)*x
passt: wähle k=0
2. antisymm: wenn x ~ y und y ~ x gelten, dann gibt es
k1 und k2 mit x = (2k1 + 1) * y und y = (2k2 + 1) * x
also x = y*2k1 + y und y = x*2k2 + x
und jetzt das 2. beim 1. einsetzen
x = x*2k1 + x*2k2 + x
0 = x*2k1 + x*2k2
0 = x* (2k1 + 2k2)
also x = 0 oder 2k1 + 2k2 = 0
bzw x = 0 oder k1 = - k2
und da k1, k2 aus No sind also auch k1 = k2 = 0
wenn x = 0 dann wegen y = (2k2 + 1) * x auch y = 0 also x=y
und wenn k1=k2=0 dann y = (2*0 + 1) * x = x also wieder y=x.
Also folgt aus x ~ y und y ~ x immer x=y . q.e.d.
Die anderen so ähnlich.
