Vektorraum über F2 kardinalität ring menge

Question

ℜ sei ein Ring auf einer Menge X. Beweisen Sie, dass R bzgl der Addition +: ℜxℜ->β(X) mit

A+B=(A\B)∪(B\A)  und der skalaren Multiplikation ·:F₂ xℜ->β(X) mit 0*A=∅ und 1*A=A

ein Vektorraum über dem Körper F ={0,1} ist. Folgern Sie daraus, dass die Kardinalität von ℜ die Form 2ⁿ mit n∈ℕ, falls ℜ endlich ist.

Kann mir hier bitte jemand helfen? Komme leider nicht weiter :(

Danke

Answer 1

Dein Text ist nicht leicht zu lesen. Der Ring auf einer Menge X soll ein wohl ein Delta-Ring https://de.wikipedia.org/wiki/Δ-Ring_(Mengensystem) sein. Das wäre hier sehr sinnvoll klarzustellen, da du hier mit algebraischen Begriffen arbeitest und da ist mit Ring etwas leicht anderes gemeint: https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)

Und ß(X) soll die Potenzmenge von X sein? Da hat ß gar nichts verloren, die schreibt man P(X), P wie Potenzmenge.

Ich hoffe das macht die Aufgabenstellung klarer.

Damit sind also die Vektorraumaxiome nachzurechnen, was ihr sicher schonmal gemacht habt.

Beim zweiten Teil der Aufgabe nutze, dass falls R endlich ist R auch endlichdimensional ist.