Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz. (1 + (-1)^n/n).

Question

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Beweisen (!) Sie ihre Aussagen.

Wie bestimme ich die Konvergenz und den Grenzwert? Kann mir das bitte jemand lösen und wenn möglich auch erklären?

Comments

Warum schreibst du unten n=1 und oben unendlich?

Sollte da noch ein Summenzeichen davor stehen?

Ohne Summenzeichen: Antwort ist vorhanden.

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Nein das ist richtig so. Das ist aus dem Aufgabenblatt.

Answer 1

Der Grenzwert ist 1.  Das merkst du, wenn du mal ein paar Gleider

ausrechnest.

Um das zu zeigen, musst du für jedes eps > 0 ein m angeben, sodass für

alle n > m der Abstand von an nach 1 kleiner als eps ist, also

| an - 1 | < eps

| 1 + (-1)^n / n   -  1 | < eps

|   (-1)^n /  n    | < eps

da (-1)^n nur die Werte + 1 oder - 1 annimmt, ist das

1/n  < eps 

Also immer erfüllt, wenn   n > 1/eps .

Und zu jedem eps > 0 gibt es (laut Archimedes) ein m mit   m > 1/eps ;

also ist für n > m jedenfalls | an - 1 | < eps.