Lösungsmenge von Betragsgleichung

Question

Gegeben ist  | x-5| = 6    

Ich soll die Lösungsmenge angeben . 

Ich habe folgendes getan  

1.Fall     x-5 >0  also x > 5 

x -5 = 6   also x = 11                L={11}

2.Fall    x-5 < 0    also x<5

-x+5= 6   also x= -1 

Jetzt komme ich aber nicht weiter,, ich verstehe die -1 ist .

Habe ich es bis dahon überhaupt richtig gemacht ?

Kann mir jemand sagen was jetzt alles als Lösungsmenge zählt,  weil eigentlich gibt ja nur die 11 sinn oder?

Answer 1

Habe ich es bis dahon überhaupt richtig gemacht ?
Ja

Aus dem 2.Fall ergibt sich
( x < 5 ) und ( x = -1 )
Schnittmenge
-1

Probe
| -1 -5 | = 6
| -6 | = 6
6 = 6

Ich male dir deine Ergbnisse noch auf einem Zahlenstrahl auf.

Comments

Hier die Skizze

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super, danke schön :-)

Answer 2

\(| x-5| = 6  \)

Lösungsweg mit Quadrieren:

\(( x-5)^2= 36   | \sqrt{~~}  \)

 1.) 

\( x-5= 6   \)

\( x_1= 11  \)   Probe:   \(  | 11-5| = 6    \)✓

2.)  

\( x-5= -6  \)

\( x_2=-1  \)   Probe: \(  | -1-5| = 6    \)✓

Comments

Quadrieren und unmittelbar im Anschluss Wurzel ziehen. Darauf muss man erst mal kommen!

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Nachteil :

Es ist keine Äquivalenzumformung.

Man muss überprüfen.

Answer 3

Offenbar tragen Fallunterscheidungen bei diesem Beispiel nicht zur Klarheit bei. Wie wäre es denn mit einfachen Äquivalenzumformungen, beginnend mit der Definition des Betrages:$$ \left| x-5 \right| = 6  \\ \Leftrightarrow \\ x-5 = 6 \quad\lor\quad x-5 = -6 \\ \Leftrightarrow \\ x = 11 \quad\lor\quad x = -1. $$Oder einfach mit der Bedeutung der vorgelegten Betragsgleichung:
Die Zahl \(x\) hat von der Zahl \(5\) den Abstand \(6\).
Das ist dann eine typische Aufgabenstellung aus der Grundschule.