Aufgabe zur Rotation des Koordinatensystems

Question

Zeigen Sie, dass eine Rotation des Koordinatensystems durch die aufeinander Anwendung
der Matrizen P1, P2 und P3 in beliebiger Reihenfolge zu keiner Anderung
des Koordinatensystems fuhrt.

  P1:  -0,5          (-√3/2)               P2:     0,5          (-√3/2)            P3:    -1     0   

         (√3/2)         -0,5                             (√3/2)         0,5                          0     -1

Answer 1

Zeige dass P1·P2·P3 die Einheitsmatrix ist.

Comments

Tatsache, bist du dir sicher, dass es so einfach ist? Ich dachte man muss Drehmatrizen und co. verwenden :D

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So einfach wie ich gedacht habe ist es dann doch nicht. 

> P1, P2 und P3 in beliebiger Reihenfolge

Du musst noch zeigen dass P1·P2·P3 = P1·P3·P2 = P2·P1·P3 = P2·P3·P1 = P3·P1·P2 = P3·P2·P1 ist. Außer ihr habt schon gezeigt dass Rotationen kommutieren.

Anstatt die 10 Matrixmultiplikationen auszurechnen ist es vielleicht einfacher, zu beweisen dass für die Matrixmultiplikation von Matrizen der Form \( \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} \) das Kommutativgessetz gilt.

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Anmerkung:  Außer ihr habt schon gezeigt dass Rotationen in einer Ebene kommutieren.

Gruß

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Der Grund warum es so einfach ist, ist das Assoziativgesetz.

Rotiert man x mittels P₁, dann bekommt man P₁x. Roteirt man Weiter mittels P₂ und P₃, so bekommt man P₃(P₂(P₁x)). Wegen Assoziativgessetz ist es das gleiche wie (P₃P₂P₁)x.