ist ~ eine Äquivalenzrelation auf ℝ^2

Question

Folgende Aufgabe bereitet mir übele Bauchschmerzen:

Für x=(x₁,x₂) ∈ℝ² → ℝ mit

$$ f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }):=\sqrt { { x }_{ 1 }^{ 2 }+{ x }_{ 2 }^{ 2 } }  $$

gegeben. Für y,z ℝ² definieren wir die Relation 

y~z ⇔ f(y₁,y₂) =f(z₁,z₂).

Aufgabe 1) Prüfen Sie, ob ~ eine Äuquvalenzrelation auf ℝ² ist.

Aufgabe 2) Geben sie (mit Begründung) die Äquivalenzklasse [a]_~ von a:=(1,0) an.

Ich bin leider diese Woche Übelst erkältet und kann deswegen die Uni nicht besuchen, weswegen ich gerade sehr viele Probleme mit dem Aufholen des Stoffen habe.

Mein ansazu zu Aufgabe 1) ist ja, dass die Regel der Transitivität besagt, wenn aRb und bRc denn auch aRc. Aber wie beweist man das denn?

Würde mich über eure Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Prüfen Sie, ob ~ eine Äuquvalenzrelation auf ℝ² ist.

drei Eigenschaften zeigen:

1. reflexiv, d.h jeder steht mit sich selbst in der Relation

d.h.   .   für alle (x;y) aus R^2 gilt   (x;y) ~ (x;y)

heißt hier wurzel(x^2 + y^2) = wurzel(x^2 + y^2 ) stimmt also.

2. symmetrisch  : für alle (x;y), (a;b)  aus R^2 gilt  

wenn (x;y) ~ (a;b)  dann auch  (a;b)  ~   (x;y) .

also wenn  wurzel(x^2 + y^2) = wurzel(a^2 + b^2 )

dann nat. auch wurzel(a^2 + b^2 ) =  wurzel(x^2 + y^2)

3. transitiv 

wenn (x;y) ~ (a;b)  und   (a;b)  ~   (c;d) . dann auch   (x;y) ~ (c;d)

auch das wird sofort klar, wenn du die Gleichungen mit den

Wurzeln hinschreibst.

Mit der Formel  wurzel(x^2 + y^2) berechnest du ja den Abstand

des Punktes (x;y) vom Nullpunkt  (Pythagoras).

Also sagt die Relation:  2 Punkte stehen in der Rel, wenn sie

gleichen Abstand vom Nullpunkt haben.

(1;0) hat den Abstand 1, also besteht die Äquivalenzklasse, aus

allen Punkten die vom Nullpunkt den Abstand 1 haben,

das ist der Kreis um (0;0) mit Radius 1.

Comments

Das verstehe ich leider gar nicht, und kann es irgendwie auch nicht nachvollziehen warum du was gemacht hast, tut mir leid :(

kannst du mir das noch irgendwie erklären?

Also außer das mit den Äuqivalenzklasse, ich glaube das kann ich nach vollziehn

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Weisst du denn überhaupt was eine Äquivalenzrelation ist ?

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Naja doch, eigentlich weiß ich das schon, ich kann deine schritte nur nicht nach vollziehen, du bist mir zu flott, tut mir leid x'D

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Dann mach mal langsam:

reflexiv heißt:

jeder steht mit sich selbst in der Relation

Die Elemente zwischen denen die Rel. definiert

ist sind Paare aus R^2.  Also musst du für jedes

Paar (x,y) prüfen, ob es mit sich selbst in der

Relation steht

d.h.   .   für alle (x;y) aus R² gilt   (x;y) ~ (x;y)

Und die Definition ist ja y~z ⇔ f(y₁,y₂) =f(z₁,z₂).

und die Funktion f ist ja auch bekannt, also kannst

du einsetzen

wurzel(x² + y²) = wurzel(x² + y² ) stimmt also.

Wirds klarer ?

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Ahhh ja, jetzt verstehe ich wirklich besser, cool danke! ^^

Answer 2

Sei f eine Funktion und es sei x~y ⇔ f(x) = f(y)

Reflexivität: Es ist f(x) = f(x), also ist x~x

Symmetrie: Ist x~y, dann ist f(x) = f(y), also auch f(y) = f(x) und somit y~x

Transitivität: Ist x~y und y~z, dann ist f(x) = f(y) und f(y)=f(z). Dann ist auch f(x)= f(z), also auch x~z.

Bis jetzt haben wir noch nicht verwendet, um was für eine Funktion es sich handelt.