Wieso hat die alternierende Gruppe Alt(4) keine Untergruppen mit 6 Elementen??

Question

ich möchte zeigen, dass die Umkehrung vom Satz von Lagrange nicht bei Alt(4) gilt.

|Alt(4)| = 12 -> 6 ist ein Teiler |Alt(4)|, aber Alt(4) hat keine Untergruppen mit 6 Elementen, somit gilt hier die Umkehrung vom Satz von Lagrange nicht, aber Wieso hat die alternierende Gruppe Alt(4) keine Untergruppen mit 6 Elementen ??

Answer 1

Eine Untergruppe von $A_4$ mit 6 Elementen, hätte

den Untergruppenindex 2 in $A_4$.

Eine Untergruppe mit Index 2 ist immer ein Normalteiler, da die

einzige "echte" Linksnebenklasse gleich der Rechtsnebenklasse ist.

$A_4$ besitzt aber nur einen nichttrivialen Normalteiler, nämlich $V_4$

der Ordnung 4.