f(K) mit K={z∈ℂ ; |z-1| = 1} und f(z)= (z-i)/(z+i)

Question

Ich soll f(K) berechnen mit K = { z∈ℂ ; |z-1| = 1}  und \( f(z)=\frac {z-i}{z+i}\) .

Ich weiß ehrlicherweise nicht wie ich an diese Aufgaben rangehen soll. Muss ich einfach in |z-1| = 1 f(z) einsetzen und ausrechnen?

Ein Ansatz wäre super!

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Vom Duplikat:

Titel: komplexe zahlen .

Stichworte: komplexe,zahlen

Berechnen Sie f(K) mit K={z∈C; |z−1|=1}und f(z)= z-1 / z+1

Kann mir jemand die Lösung dieser Aufgabe geben bitte

Answer 1

f ist eine Möbiustransformation.: https://de.wikipedia.org/wiki/Möbiustransformation

K ist ein Kreis in der komplexen Zahlenebene mit

Mittelpunkt z=1 und Radius 1. Zeichne diesen Kreis auf dein Blatt und bestimme die Koordinaten von mindestens 4 Punkten auf dem Kreis.

Nun musst du rausfinden, was f(K) ist. Ein Kreis, eine Gerade ?

Rechne ein paar Bildpunkte konkret aus, zeichne sie ein und schau dann mal.

Comments

wo seh ich denn, dass K ein Kreis ist ?

Wenn K ein Kreis ist, ist dann nicht auch f(K) ein Kreis ?

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Wo seh ich denn, dass K ein Kreis ist ?

Erkennst du an der Betragsgleichung. Vgl: Diskussion zu Kreisen hier: https://www.mathelounge.de/171157/mengen-in-der-komplexe-zahlenebene-z-∈ℂ-z-i-1

Wenn K ein Kreis ist, ist dann nicht auch f(K) ein Kreis ?

Bei Möbiustransformationen können Kreise zu Kreisen oder auch zu Geraden werden. Vgl. Link oben: Du kannst dort auch auf andere Sprachen umstellen. Vielleicht findest du noch konkretere vorgerechnete Beispiele.

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- Ahn ok..die bilden auf beides ab. Ist irgendwie in der Vorlesung nicht so durchgekommen. Ich dachte Kreis bildet auf Kreis ab und Gerade auf Gerade.

- So, also habe zwar jetzt meinen Kreis und auch die Wikipediaseite gelesen, aber verstehe immer noch nicht ganz wie ich diese Aufgabe weiter bearbeiten soll :/

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hab die selbe Aufgabe blicke auch nicht so ganz durch LU bist ein hero

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hi3599:

Gib mir mal ein paar möglichst einfache Punkte (komplexe Zahlen) auf der Kreislinie an.

f(z)= (z-i)/(z+i)

Bsp. z=0

f(0) = -i/i = -1. ==> erster Bildpunkt ist z=-1.

Etwas Theorie: Geraden und Kreise, die durch die Nullstelle des Nenners gehen, werden auf Geraden abgebildet.

Da z=-i nicht auf K liegt, sollte eigentlich keine Gerade, sondern ein Kreis rauskommen in eurer Aufgabe.

Sobald ihr 3 Bildpunkte habt, habt ihr eigentlich den resultierenden Kreis. - Zumindest konstruktiv.

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Hmm..ein weiter Punkt auf der Kreislinie wäre 2 ?

f(2) = 3/5 - 4/5i

Dann ist 3/5 - 4/5i mein zweiter Bildpunkt

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Noch einer wäre z = 1+i .

Ein Vierter ist z=1-i .

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Da zeichnet sich tatsächlich ein Kreis ab! Klasse.

Aber habe ich f(K) damit nun berechnet ?

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Das kommt auf die Schulstufe an und darauf, wie viel ihr an Theorie gehabt habt und damit anwenden dürft.

Schreibe die gefundene Menge, gleich wie M als Punktmenge hin. Betragsgleichung in der man Mittelpunkt und Radius sieht.

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Bisschen Theorie halt in der Vorlesung. War aber auch der letzte Punkt, denn danach haben wir mit einem neuen Thema angefangen.

Oh je..wie soll ich das aufschreiben denn gehen o.o

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Schreib deine ganzen Rechnungen hin. Kommentiere sie zumindest mit Stichworten und wenn möglich noch mit "Zitaten" oder Nummern aus der Theorie.

Mit Hilfe von Farben in der Zeichnung kannst du illustrieren, was du machst.