Betragsgleichung: Bestimmen Sie alle z∈ℂ für die gilt : |(z-1)/(z+i)| = 2

Question

Bestimmen Sie  alle z∈ℂ, für die gilt: $$\left| \dfrac{z-1}{z+i} \right| = 2$$

und man soll dann noch die Menge in der komplexen Ebene skizzieren.

Comments

(die Betragszeichen sollen für den gesamten Bruch gelten )

Besser?

Answer 1

Setze z= x+iy

|(x+iy -1) /( x+iy +i)| = 2

√((x-1)^2 +y^2)/ √ ((x^2 +(y+1)^2) =2

usw.

Answer 2

(z - 1)/(z + i)  = ...  = z·(z - 1)/(z^2 + 1) + i ·(1 - z)/(z^2 + 1)

| (z - 1)/(z + i) | =   √((z·(z - 1)/(z^2 + 1))^2 + ((1 - z)/(z^2 + 1))^2)  =  2

| (z - 1)/(z + i) |² =  z·(z - 1)/(z^2 + 1))^2 + ((1 - z)/(z^2 + 1))^2  =  4

..........    mein Rechner sagt:

z₁ = 1/3 - 2·√2·i/3  ;   z₂ = 1/3 + 2·√2·i/3 

                [  z₃ = -1  entfällt bei Probe wegen des Quadrierens ]

Gruß Wolfgang 

Answer 3

Da z komplex ist gilt deine zweite Zeile

| (z - 1)/(z + i) | =  ...

nicht.

Außerdem gilt im komplexen

|z|^2=z^2 auch nicht. Von daher würde ich erst quadrieren, wenn nur noch reelle Zahlen im Spiel sind.

Answer 4

|(z-1)/(z+i)| = 2

Rechenregeln für Beträge im Komplexen

|(z-1)| = 2 |(z-(-i))| 

Resultat: Menge aller Punkte in C, die von z0 = 1 doppelt so weit weg sind, wie von Punkt z = -i .

==> Geometrischer Ort, den man kennen könnte.

Comments

Wie ermittelst Du mit minimalem Aufwand Mittelpunkt und Radius?

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Das könntest du nur tun, wenn es einen Kreis geben würde.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C%28z-1%29%2F%28z%2Bi%29%7C+%3D+2+

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Geometrischer Ort, den man kennen könnte.

Was soll man kennen?

Das könntest du nur tun, wenn es einen Kreis geben würde.

Was wäre sonst möglich?

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Tipp: Lies dich schon mal hier ein: https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt#Polargleichung_einer_Kegelschnittschar