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Die Zahlen xn, n ∈ ℕ0, seien induktiv definiert durch

x0 = 0

für jedes n ∈ ℕ+ : xn = n - xn-1.

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ ℕ0 gilt:


xn = n/2       falls n gerade

xn = n+1/2   falls n ungerade

Das habe ich für die Zahlenwerte x1, x2, x3, x4 raus bekommen:

x1 = 1    x2 = 1   x3 = 2   x4 = 2

So habe ich mit dem Induktionsbeweis begonnen:

x= n/2       falls n gerade

Indunktionsanfang:

Für n = 2 gilt x2 = 2/2 = 1, also wahr.

InduktionsVoraussetzung:

Hier komm ich nicht weiter. Wie beweise ich, dass es für alle weiteren geraden Zahlen auch so gilt?

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1 Antwort

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Wie man leicht nachrechnet ist die Behauptung äquivalent zu$$x_n=\tfrac14\big(2n+1-(-1)^n\big).$$Der Induktionsschritt könnte dann in etwa so aussehen:$$x_{n+1}=(n+1)-x_n$$$$\qquad=(n+1)-\tfrac14\big(2n+1-(-1)^n\big)$$$$\qquad=\tfrac14\big(2(n+1)+1-(-1)^{n+1}\big).$$
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