Rekursiv definierte Folge-Wohldefiniert,Konvergenz

Question

Hallo:)

Ich habe folgende rekursiv definierte Folge:  a₀ = 1 und a_n+1 = (q*a_n)/(K+a_n)

Ich soll nun zeigen dass 1) die Folge wohldefiniert ist für a_n > 0. Das ist aber doch eigentlich ziemlich offensichtlich, da der Bruch nicht 0 werden darf. Ich weiß nicht, was ich da groß beweisen kann.

2) Beweisen dass die sie konvergiert und dann den Grenzwert angeben.

Dafür müsste ich ja zeigen dass 0 < a_n ≤ q (also die Folge beschränkt) und beide Möglichkeiten der Monotonie durchgehen. Allerdings komme ich da Beweistechnisch noch nicht hinter..

und wie bestimmt man den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge..?

Answer 1

Hi,
durch suksessives einsetzten und durch Vollständige Induktion kann man zeigen, dass gilt
$$ (1) \quad a_{n+1} = \frac{a_0}{ \left(\frac{K}{q}\right)^{n+1} + \frac{a_0}{q} \sum_{j=0}^N \left(\frac{K}{q}\right)^{j} }  $$ und das ist gleich zu (geometrische Reihe)
$$ (2) \quad a_{n+1} = \frac{a_0}{ \left(\frac{K}{q}\right)^{n+1} + \frac{a_0}{q} \frac{\left(\frac{K}{q}\right)^{n+1} - 1}{\frac{K}{q} - 1} } $$ falls \( \left| \frac{K}{q} \right| < 1 \) damit konvergiert (2) gegen \( q - K \)

Für \( \left| \frac{K}{q} \right| \ge 1 \) konvergiert (1) gegen \( 0 \)

Die Grenzwerte kann man auch aus folgender Überlegung gewinnen. Wenn der Grenzwert existiert gilt \( a_{n+1} \) und \( a_n \) konvergieren gegen den gleichen Grenzwert \( x \). damit ergibt aich aus der Definition der rekursiven Folge die Gleichung \( x = \frac{qx}{K+x} \) mit den Lösungen \( x = 0 \) und \( x = q - K \)