Reihenwert berechnen für n/(n+1)!

Question

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1) !} \)

Als Tipp wurde hier Teleskopsumme genannt, was mich aber nicht wircklich weiter bringt.

Kann mir jemand helfen ?

Comments

n/(n+1)!

= n/((n-1)! * n * (n+1) )

= 1/ ((n-1)! *(n+1) )

Jetzt "Partialbruchzerlegung"

1/ ((n-1)! *(n+1) ) = A/(n-1)!   + B / (n+1) versuchen.  Ich weiss jetzt nicht, ob das viel bringt, wenn da noch ! dabei ist. Probier mal.

Kontrolle des Resultates dann mit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of+1%2F+%28%28n-1%29%21+*%28n%2B1%29+%29+

Answer 1

Hi, vielleicht hilft dies:
$$ \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac { n }{ (n+1)! } } = \sum_{n=1}^{\infty}{ \left(1-\frac { 1 }{ n+1 }\right)\cdot\frac { 1 }{ n! } }  =\,\dots$$