Zeilentransformation zeigen, Gauß

Question

Typ 1 Vertauschen einer Zeile

Typ 2 Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl

Typ 3 Addition des Vielfachen einer Zeile mit einer Anderen

Zeigen Sie, dass Transformationen vom Typ 1 durch Hintereinanderausführung mehrerer Transformationen von Typ 2 und 3 erhalten werden.

Kann mir jemand helfen zu erklären, was ich hier beweisen soll. Ich versteh das nicht so ganz bzw. was ich zeigen soll

Answer 1

Gegeben ist die Matrix \( \begin{pmatrix}1& 2\\5&7\end{pmatrix} \). Führe folgende Operationen durch:

1. Ersetze die zweite Zeile durch die Summe aus erster und zweiter Zeile.
2. Multipliziere die erste Zeile mit -1.
3. Ersetze die erste Zeile durch die Summe aus erster und zweiter Zeile.
4. Multipliziere die erste Zeile mit -1.
5. Ersetze die zweite Zeile durch die Summe aus erster und zweiter Zeile.
6. Multipliziere die erste Zeile mit -1.

Du bekommst die Matrix \( \begin{pmatrix}5& 7\\1&2\end{pmatrix} \), die sich von der ursprünglichen Matrix lediglich dadurch unterscheidet, dass die erste und die zweite Zeile vertauscht sind.

Du sollst beweisen, dass dies kein Zufall ist, der aufgrund der Eigentümlichkeit der speziellen Matrix zustande gekommen ist, sondern dass die genannten Operationen immer dazu führen, dass zwei Zeilen vertauscht werden.