Zeigen, dass es für jedes a Element von ℕ mit a>1 ein b Element von ℕ gibt, sodass (a+1)n=a⋅b+1.

Question

Ich weiß nicht, wie ich hier anfgangen soll...

Folgendes Problem: Ich weiß einfach nicht, wie ich hier anfangen soll und wollte fragen, ob ihr mir vielleicht helfen könnt mit einem Tipp. Zum Beispiel was ich mir anschauen sollte also welches Thema spezifisch.

3. Seien n,k Elemente von ℕ und k≤n. Dann definieren wir n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n (Fakultät) und den Binomialkoeffizient (nk)=n!k!(n−k)!

Benutzen Sie die Tatsache (x+y)n=∑k=0n(nk)xkyn−k

um zu zeigen, dass es für jedes a Element von ℕ mit a>1 ein b Element von ℕ gibt, sodass (a+1)n=a⋅b+1. Sie können die Tatsache benutzen, dass alle Binomialkoeffizienten ganze Zahlen sind!

Comments

Also ich glaube, dass musst Du nochmal genauer hinschreiben. Das kann man nicht verstehen.

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3. Seien n,k Elemente von ℕ und k≤n. Dann definieren wir n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n (Fakultät) und den Binomialkoeffizient (nk)=n!k!(n−k)!

Benutzen Sie die Tatsache (x+y)n=∑k=0n(nk)xkyn−k

um zu zeigen, dass es für jedes a Element von ℕ mit a>1 ein b Element von ℕ gibt, sodass (a+1)n=a⋅b+1. Sie können die Tatsache benutzen, dass alle Binomialkoeffizienten ganze Zahlen sind!

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So jetzt aber der hat das vorhin einfach nicht so gemacht, wie ich wollte...:D

Answer 1

Hi,
$$ (a+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^k = \binom{n}{0}a^0 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}a^k = 1 + a\cdot \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}a^{k-1} = a\cdot b +1 $$ mit
$$ b = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}a^{k-1} $$
Da die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind und \( a^{k-1} \) auch, ist \( b \in \mathbb{N} \)