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Aufgabe:

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Aufgabe 4 (8 Punkte).
Für nN n \in \mathbb{N} definiere
Tn : (1,1)R,xcos(narccos(x)) T_{n}:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \cos (n \cdot \arccos (x))

Zeigen Sie, dass es für jedes nN n \in \mathbb{N} ein Polynom pn : RR p_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} gibt mit
pn(x)=Tn(x),x(1,1) p_{n}(x)=T_{n}(x), \quad x \in(-1,1)

Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass Tn+1(x)=2xTn(x)Tn1(x) T_{n+1}(x)=2 x T_{n}(x)-T_{n-1}(x) für alle n1 n \geq 1 . Um das zu beweisen, könnte die Formel für cos(a+b)+cos(ab) \cos (a+b)+\cos (a-b) nützlich sein.


Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht mal so richtig, was zu tun ist. Ich habe als Idee gehabt, zunächst die rekursive Beziehung für n=0 (=1) und für n=1 (=x) nachzuweisen und diese als Induktionsvoraussetzung zu nutzen.

Als Induktionsannahme habe ich dann angenommen, dass die Beziehung für n und n-1 gilt und als Induktionsschritt habe ich dann n+1 eingesetzt.


Dann komme ich allerdings nicht weiter und weiß auch wirklich nicht, ob das überhaupt richtige Ansätze sind, weshalb ich diese auch nicht hochgeladen habe. Besonders mit sin, cos, tan habe ich wirklich Schwierigkeiten.

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2 Antworten

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Dein Vorgehen ist genau richtig. Also, was hast Du bei den einzelnen Schrittten gerechnet?
Der Nachweis der Rekursionsformel ist das aufwendigste (Hinweis beachten, von einer Seite der Formel zur anderen Seite schrittweise umformen). Die Induktion danach ist unschwierig (Ind.Vor. und Ind. Beh. sorgfältig hinschreiben).

Gerade wenn Du unsicher bist, solltest Du Deine Rechnungen hochladen.

Avatar von 11 k
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Zeigen Sie zuerst, dass Tn+1(x)=2xTn(x)Tn1(x) T_{n+1}(x)=2 x T_{n}(x)-T_{n-1}(x) für alle n1 n \geq 1 .

Mit anderen Worten, zeige zunächst, dass

        cos((n+1)arccos(x))=2xcos(narccos(x))cos((n1)arccos(x)) \cos((n+1)\arccos(x))=2 x \cos(n\arccos(x))-\cos((n-1)\arccos(x))

für alle n1 n \geq 1 (und alle x(1,1)x\in (-1,1)) ist.

Umformung dieser Gleichung ergibt

      cos((narccos(x)+arccos(x))+cos((narccos(x)arccos(x))= 2xcos(narccos(x))\begin{aligned} &\cos((n\arccos(x) + \arccos(x)) + \cos((n\arccos(x) - \arccos(x))\\ =\ &2 x \cos(n\arccos(x)) \end{aligned}

könnte die Formel für cos(a+b)+cos(ab) \cos (a+b)+\cos (a-b) nützlich sein

Die hast du natürlich herausgesucht.

Avatar von 107 k 🚀

Woher weiß ich denn, das Tn+1 =cos(n+1)…. ist?

Das steht in der zweiten Zeile, ist eine Definition.

Tn+1 =cos(n+1)….

Auf der rechten Seite der Gleichung hast du die Klammern falsch gesetzt.

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