Welche Vektoren für die Basis verwenden?

Question

M:={(1,2,3,3), (2,0,1,-1), (-1,0,0,1), (0,2,3,0)}

Mit welche Vektoren aus der Menge M, kann ich die Menge {(0,4,5,9),(3,3,3,3) zu einer Basis von ℝ⁴ ergänzen?

Es muss ein Erzeugendensystem und die lineare Unabhängigkeit gelten.

Answer 1

Es muss ein Erzeugendensystem und die lineare Unabhängigkeit gelten.

ist im allg. richtig. Da aber dim=4 brauchst du bei der Auswahl der 4 Vektoren

nur eines von beiden zu beachten. Wenn die Anzahl stimmt, ist das

2. per se richtig. Ich würde es mit der lin. Unabh. machen.

Also zwei hast du schon  {(0,4,5,9),(3,3,3,3)}

nehmen wir einfach mal den ersten dazu aus M dazu und prüfen

x*(1,2,3,3) + y*(0,4,5,9) +z*(3,3,3,3) = (0;0;0;0)

gibt

x + 3z = 0 und 2x+4y+3z=0 ....

Stufenform gibt beim Gleichungssystem

1   5/3    1 

0     1      0

0     0      1

0     0      0 

also rang=3 also Vektoren lin. unabh.

dann den nächsten dazu gibt bei der

Stufenform

1   5/3     1     1/3

0     1      0      -1/2

0     0      1      5/12

0      0      0       1

also rang=4 passt.

4 lin. unabhängige bilden immer eine

Basis von R^4 .

Answer 2

4 linear unabhängige Vektoren des ℝ⁴ sind automatisch ein Erzeugendensystem.

Du musst nur jeweils zwei Vektoren aus M zur gegebenen Menge hinzufügen und den Rang der Matrix bestimmen. Ergibt fast immer den Rang 4 → Basis

Mit den beiden mittleren von M erhältst du den Rang 3 → keine Basis.

Gruß Wolfgang