Wie zeige ich, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist

Question

x₁:= 2, x_n+1 := x_n/2 + 1/x_n

a)Ich habe bereits die Konvergenz(Monotonie und Beschränktheit gezeigt) bewiesen und den Grenzwert berechnet a=+- √2

Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht weiter:

b) Offensichtlich ist x_n ∈ℚ für alle n∈ℕ, wir können (x_n)_n≥1 also auch als
eine rationale Folge auffassen. Analog zu reellen Folgen heißt eine rationale
Folge (a_n)_n konvergent, falls a∈ℚ existiert, so dass lim _n→∞ a_n = a.

Zeige, dass
(x_n)_n≥1 eine Cauchyfolge ist.

Hinweis: Zeige zuerst, dass gilt I x_n+1 - x_m+1 I < 1/2 Ix_n-x_mI

Ich verstehe nicht, was ich  noch zeigen soll, jede konvergente Folge ist doch eine Cauchy-Folge und dass habe ich für die obere Folge bewiesen bewiesen oder bezieht sich die Aufgabe nicht auf a) ? Wie müsste ich den Beweis b) durchführen?

Definition:

∀ε>0, N∈ℕ ∀n,m≥N : Ix_n-x_mI < ε
oder anderes formuliert: Die Abstände der Folgeglieder werden beliebig klein, egal wie ich mein ε>0 wähle.

Comments

"Ich verstehe nicht, was ich  noch zeigen soll, jede konvergente Folge ist doch eine Cauchy-Folge und das habe ich für die obere Folge bewiesen"

Wann, wie, wo?

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Damit meinte ich, dass ich für die Folge

x₁:= 2, x_n+1 := x_n/2 + 1/x_n

die Konvergenz bewiesen habe :)

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Bei b) sollst Du halt direkt zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt und Dich nicht einfach auf einen allgemeinen Satz beziehen.

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Anmerkung zu a): Deine Folge kann nicht 2 Grenzwerte haben.

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lim_n↦∞ x_n=a oder  lim_n↦∞ x_n+1=a , also

lim_n↦∞ x_n/2 + 1/x_n = a      ⇔ a/2 + 1/a = a ⇔ a^2 + 2 = 2a^2 ⇔ 2=a^2

a=+- √2

Die Berechnung ist doch richtig oder?
Ich weiß eigentlich, dass es nur einen Grenzwert geben kann, aber wir hatten noch keine Häufungswerte...bin also ein wenig überfordert

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Mag sein, dass die Gleichung 2 Lösungen hat, aber nur eine davon macht für deine Folge einen Sinn!