Wie zeige ich, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist?

Question

Ich kann die Aufgabe irgendwie nicht lösen. Weiß jemand weiter? :-(

Es sei (x_n)_n∈ℕ eine reelle Zahlenfolge mit | x_n - x_n+1 | ≤ 2^-n  für alle n ∈ ℕ.

Nun soll gezeigt werden, dass (xn)_n∈ℕ  eine Cauchy-Folge ist.

 

Answer 1

Cauchy-Folge heißt: Zu jedem  ε > 0  existiert ein  N ∈ ℕ, so dass gilt  | x_n - x_m | < ε  für alle  n,m > N.

Sei nun  ε > 0  beliebig. Wähle  N ∈ ℕ  so groß, dass 2^N > 2/ε  ist. Für  m > n > N  gilt:
| x_n - x_m | = | x_n - ((x_n+1 - x_n+1) + ... + (x_m-1 - x_m-1)) - x_m |.
Wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung liefert
| x_n - x_m | ≤ | x_n - x_n+1 | + | x_n+1 - x_n+2 | + ... + | x_m-1 - x_m |.
Nach Voraussetzung und der Summenformel für geometrische Reihen gilt dann
| x_n - x_m | ≤ 2^-n + 2^-(n+1) + ... + 2^-(m-1) = 2^-n·(2⁰ + 2^-1 + ... + 2^-(m-1)+n ) < 2^-n·2 < 2^-N·2 < ε/2·2 = ε.

Comments

die frage war aber für n+1 und nicht für m. wie macht man das denn ?