Cauchy-Folge: Wie zeige ich das "an = ∑^n k=1 1/k für n ∈ Ν" keine Cauchy Folge ist?

Question

Weiß wer wie die Aufgabe geht?

 

Sei (a_n)_n∈N definiert durch a_n = ∑ⁿ_k=1  1/k  für n ∈ N. Zeigen Sie, dass diese Folge keine Cauchy-Folge ist, indem Sie nachweisen, dass die Definition nicht erfüllt ist.

 

Comments

Die Summe die du hier untersuchen sollst heisst 'harmonische Reihe'. Such mal unter diesem Stichwort in deinen Unterlagen. Alternativ im Netz.

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Oki also ich hab jetzt im Internet nachgeguckt, jedoch nicht das passende gefunden oder verstanden.

Ich muss ja |an - am| beweisen. Aber wie geht das? Also von wo kommt m?

Answer 1

Zeige per Induktion über \(n\), dass für alle \(n>1\) gilt: \(\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac1k>\frac12\).
Schließe daraus, dass \(|a_{2n}-a_n|>\frac12\) gilt und folgere daraus die Behauptung.

Comments

Hey danke das du dir Zeit nimmst

Ich verstehe es immer noch nicht, also wie zeige ich das und von wó kommt denn >1/2?

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$$|a_{2n}-a_n|=\sum_{k=1}^{2n}\frac1k-\sum_{k=1}^n\frac1k=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k>\frac12.$$Die letzte Ungleichung gilt nach obiger Behauptung, die zunächst per Induktion bewiesen werden sollte.

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ahh supi danke und das reicht aus was da steht?
Dachte muss jetzt eine halbe Seite schreiben :D

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Deine 1/k sind bis auf eins > 1/(2n)

Du hast also diese Summe > (1/(2n) + 1/(2n) + ...) n Summanden

= n*1/(2n) = 1/2

Answer 2

Cauchy bedingung sagt aus : Für alle epsilon >0 existiert ein N element von N bei dem alle n, m >= N sind : |am-an|<0 sein.

Die Definition kannst du auch bei Wikipedia nachlesen ;-)