Eigenschaft der Exponentialfunktion

Question

Wie kann ich folgendes zeigen.

$$ { ({ e }^{ x }) }^{ y } = { e }^{ yx } $$ für alle x,y aus ℝ

Bei natürlichen Zahlen ist es leicht.

$$ { ({ e }^{ x }) }^{ n } = { e }^{ x }\cdot ...\cdot { e }^{ x } = { e }^{ x+...+x } = { e }^{ nx } $$

Answer 1

Bei solchen bekannten Formeln ist ein Beweis ohne Zusammenhang der vorangegangen Herleitungen immer problematisch, weil man nicht weiß, was man voraussetzen kann.

Das folgende ist also mehr eine Plausibilitätsbetrachtung:

\({ ({ e }^{ x }) }^{ y } = { e }^{ yx }\)

⇔ ln (e^x)^y = ln (e^y·x)       weil ln eine streng monoton steigende Funktion ist

⇔ y • ln (e^x) = ln (e^y·x)   Logaritmensatz  log(a^r) = r • log(a)

⇔ y • x = y •  x                   weil x↦ ln(x)  Umkehrfunktion von x ↦ e^x  ist

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für den Hinweis.

Ich stell die Frage aus dem Grund, weil ich mich nicht erinnern kann, dass ich in Analysis 1 gesehen habe, wie man das zeigen kann.

Also, ich weiß, dass man mithilfe des Cauchyprodukts zwei absolut konvergente Reihen multiplizieren darf.

Damit kann man die Gleichung

$$ { e }^{ x+y } = { e }^{ x }\cdot { e }^{ y }$$ zeigen.

Das was ich in meiner Frage erwähnt habe, dass es für natürliche Zahlen gilt, ist mir klar.

Mich interessiert, wie man das auf reelle Zahlen verallgemeinern kann.

Den Logarithmensatz möchte ich dafür nicht verwenden, denn der soll aus dem, was ich zeigen will, folgen.

Außer du siehst eine Möglichkeit , ihn, an Stelle meiner Frage, elementar zu zeigen, was ich für schwieriger halte.