Bestimmen sie alle x aus R^3, die dieses Gleichungssystem lösen.

Question

a) Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem:

2x₁ + 3x₂ + x₃ = 0

-4x₁ - 6x₂ + 2x₃ = 0

i) Bestimmen sie alle x∈ R³ die dieses Gleichungssystem lösen. Geben sie explizit die Lösungsmenge L an.

ii) Die Lösungsmenge L eines homogenen linearen Gleichungssystems kann auch als Untervektorraum des R³ aufgefasst werden. Geben sie für diesen Untervektorraum eine Basis an.

iii) Ermitteln sie die Dimension von L.

B) Bestimmen sie in Abhängigkeit von x∈R den Kern der Matrix

      2  2  -6  8

A= 3  3  -9  8

      1  1  x  4

Answer 1

2x₁ + 3x₂ + x₃ = 0     (G1)

-4x₁ - 6x₂ + 2x₃ = 0   (G2)

Wenn du (G1)  mit 2 multiplizierst (G3)  und das Ergebnis zu G(2) addierst, erhältst du  4x₃ = 0  →   x₃  = 0

x₃  in (G1) und (G2) eingesetzt  ergibt zwei äquivalente Gleichungen.

Du kannst also x₂ frei wählen  x₂ := c∈ℝ

x_2,3  in (G1)  →  x₁ = -3/2 • c

allgemeine Lösung: L = { c • (-3/2  ; 1 ; 0) | c∈ℝ } 

Basis B = { (-3/2 ; 1 ; 0) }

dim(L) = 1  (L wird von einem Basisvektor aufgespannt)

Gruß Wolfgang