Summenzeichen zusammenfassen

Question

leider habe ich schon wieder eine ähnliche Frage wie eben, nur ich glaube diesmal etwas komplexer glaube ich
also ich will folgenden Term zusammenfassen:
$$ \sum _{ n=1 }^{ k }{ \frac { cos(n+2) }{ (n+1)²-1 }  } +\sum _{ l=k }^{ k+7 }{ (\frac { cos(l+3) }{ (l+2)²-1 }  } -1)+8\\ \\=\sum _{ n=1 }^{ k }{ \frac { cos(n+2) }{ (n+1)²-1 }  } +\sum _{ l=k }^{ k }{ (\frac { cos(l+3) }{ (l+2)²-1 }  } -1)+\frac { cos(k+10) }{ (k+9)²-1 } +7 $$
\sum _{ n=1 }^{ k }{ \frac { cos(n+2) }{ (n+1)²-1 }  } +\sum _{ l=k }^{ k+7 }{ (\frac { cos(l+3) }{ (l+2)²-1 }  } -1)+8\\ \\

=\sum _{ n=1 }^{ k }{ \frac { cos(n+2) }{ (n+1)²-1 }  } +\sum _{ l=k }^{ k }{ (\frac { cos(l+3) }{ (l+2)²-1 }  } -1)+\frac { cos(k+10) }{ (k+9)²-1 } +7

ich hab das irgendwie noch nicht verstanden mit dem aneinanderhängen der Summenzeichen,
also mein Ansatz steh in der zweiten Zeile , über Hilfe wäre sehr glücklich :)

ps ich bin mir nicht sich ob dass mit dem Formeleditor geklappt hat also schicke ich noch nen Bild mit für den Notfall :D

Comments

Ich komme einfach nicht drauf wie ich diese Summen am besten zusammenfasse.

---

Schreibe es für z.B. k=3 einfach mal aus. Dann muesste so langsam eine Idee entstehen. Wenigstens ein bisschen Papier schmutzig machen muss schon sein.

---

Ich meine so müsste dass richtig sein da die Summenzeichen auf einander Folgen kann man sie zusammenfassen....

Answer 1

Stichwort: Indexshift

$$ \sum_{l=k}^{k+7} \left(\frac{\cos(l+3)}{(l+2)^2-1} -1 \right) = \left( \sum_{l=k+1}^{k+8} \frac{\cos(l+2)}{(l+1)^2-1} \right)-8$$

Gruß

Comments

Wie kommt hinten die minus 8 zustande?

---

-1 + (-1) + (-1) ..... + (-1) = -8

Grund: 8 Summanden.

---

Achso du ziehst die -1 ja aus der summe raus ...

Besten dank für die Hilfe

---

Yakyu hat das gemacht.

Bitte.

Answer 2

1. die 2. Summe durchläuft 8 mal die Schleife mit einer Konstanten, was man herausschreibt:

8*(-1)+8 = 0

2. 1. und 2, Summe unterscheiden sich nur durch Offset 1 bei Addition mit der Laufvariablen!

Durch Angleichung dieses Offsets "um 1 größer" also cos(n+3)

muss die Laufvariable n "um 1 kleiner" gemacht werden, damit das Innere der Klammer

die identische Summe ergibt: n=0...k-1

3. 1. & 2. Laufvariable können beide n lauten und nun sieht man,

dass der "Zwischenhalt" bei k-1 und das "Weitermachen" bei k zu 1 Summe zusammengefasst

werden kann:

sum cos(n+3)/((n+2)²-1),n=0...k+7

(Endergebnis)

4. Zugabe

Leider gibt es zu dieser Partial-Summe keine einfache Funktion.

Selbst nach den ersten 1000 Gliedern  "wackelt" noch die 6. Nachkommastelle.

Nur bei k gegen unendlich ergibt sich ein komplizierter Grenzwert:

= 1/8 e^{-2 i} (1+2 e^i+2 e^{3 i}-2 log(1-e^{-i})+e^{4 i} (1-2 log(1-e^i))+2 e^{2 i} (log(1-e^{-i})+log(1-e^i)))

=-0.350474623631146602415588136987540758135245524...

interessant: die ersten 35 Stellen stimmen mit1869575018589624408 / 5334409091361887945 überein