Integrale: Parameteraufgabe

Question

f(x)=ax³-a²x   Integral über dem Intervall = [0;1]     Inhalt=7

Answer 1

          [ a≠0] 

ich gehe davon aus, dass mit "Inhalt = 7" der Flächeninhalt A über dem Intervall [0 ; 1] gemeint ist.

f(x) = ax³-a²x  = a • x • (x² - a²) = a • x • (x - a) • (x + a)

Die Funktion hat die   Nullstellen x = a , x = -a und x = 0

Für a > 1 oder a < -1  gilt  

A = | ∫₀¹ (ax³-a²x ) dx |  = | [ a·x⁴/ 4 - a²·x² / 2 ]₀¹ |  = | a/4 - a² /2 |

Für -1 ≤  a ≤ 1 gilt:

A = | ∫₀^a  (ax³-a²x ) dx | +  | ∫_a⁰  (ax³-a²x ) dx | 

= | [ a·x⁴/ 4 - a²·x² /2 ]₀^a |  + | [ a·x⁴/ 4 - a²·x² /2 ]_a⁰ | 

= | a⁵ /4 - a⁴ /2 | + | a⁴ /2 - a⁵ /4 |

Du musst jetzt jeweils A = 7 setzen, mit Hilfe des Vorzeichenverlaufs der Terme in den Beträgen - mit Hilfe von sehr lästigen Fallunterscheidungen - die Beträge auflösen und a bestimmen.

Gruß Wolfgang 

 

Answer 2

 $$\int_0^1 \quad        a \cdot x^3-a^2 \cdot x       \quad  = \quad    7$$
 $$ \left[\quad     a \cdot   \frac14  x^4-a^2 \cdot \frac 12 x^2x \right]  _0^1    \quad  = \quad    7$$

Grenzen einsetzen und nach a auflösen - Fertsch!

Comments

Mit "Inhalt = 7" ist normalerweise der Flächeninhalt gemeint.

"Inhalt des Integrals"  wäre wohl eine mehr als grenzwertige Formulierung!

Was ist dann mit eventuellen Nullstellen im Intervall [0;1] ?

Ganz so einfach geht es dann wohl leider nicht!

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das mag sein - aber ich mag keine Interpretationsversuche bei solchen unvollständig getexteten Aufgaben machen.

Ich habe eben nur Integral gelesen

Immerhin hat der Fragesteller nun zwei Varianten ...