verifiziere dass f' beschränkt und f nicht monoton wachsend

Question

Betrachte die Funktion

$x+2x^2\sin(\frac{1}{x})$ für $x\neq0$

$0$ für $x=0$

Verifiziere folgende Aussagen

a.) $f'$ ist auf jedem kompakten Intervall beschränkt

b.) $f$ ist auf keinem noch so kleinen Intervall $(\epsilon,-\epsilon)$ mit $\epsilon > 0$ monoton wachsend

a weiss ich nicht wie zeigen, bei b ist es für mich ein Widerspruch da schon die Ableitung bei x=0 1 ist und f also monoton wachsend bei x=0

Answer 1

Es ist f ' (x) = 4x*sin(1/x) - 2cos(1/x) + 1

und f ' (0) = 1  wie du etwa mit dem

Ansatz ( f(o+h) - f(o) ) / h    für h gegen unendlich zeigst.

Ist [a;b] ein kompaktes Intervall, dann ist ja

|x| ≤ m := max { |a| , |b| , 1 }  und damit für x aus [a;b]

|f ' (x)| ≤ 4m + 3   also beschränkt.

Comments

ich verstehe nicht ganz was du mit |x| ≤ m := max { |a| , |b| , 1 }  meinst

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du musst ja irgendwie den Betrag von x abschätzen.

Und wenn das x aus [ a ; b ] ist, dann ist  |x| kleiner gleich dem

Betrag des größeren der beiden.  also max { |a| , |b|} 

und damit es bei Werten, deren Betrag < 1 ist auch immer stimmt, habe ich die 1 dazugepackt.

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Wie kommst du dann direkt auf |f'(x)|=4m+3?

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4x*sin(1/x) - 2cos(1/x) + 1

sin(...) hat immer Betrag ≤ 1   cos(...) auch,

und |4x |   ≤  m 

also | 4x*sin(1/x) |     ≤    4 m 

und  |   - 2cos(1/x) + 1 |     ≤  3