Anwendung des Zwischenwertsatzes

Question

ich habe einfach keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll :/

Aufgabe:

Sei g:[0,1] → [0,1] eine stetige Funktion.

Ich soll zeigen, dass es sein ξ∈[0,1] gibt mit g(ξ)=ξ

Es hat etwas mit dem Zwischenwertsatz zu tun.

Answer 1

Betrachte mal f(x) = g(x) - x    Die ist dann auch stetig.

Berechne g(0) und g(1) .

Dann siehst du es.

Comments

Kannst du erläutern warum du das vorschlägst? :/
Ich verstehe es nicht :/

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g(0)=f(0)-0 = f(0)

g(1) = f(1)-1

Nun sind aber f(0) und f(1) aus [0;1] also g(1) ≤ 0 und g(0) ≥ 0

Dann sind sie entweder beide gleich 0, also etwa g(0) = f(0) = 0 also ist 0 das gesuchte ξ

oder  g(1) = f(1) - 1 = 0 also  f(1) = 1  also 1  das gesuchte ξ

oder (Zwischenwertsatz) Es gibt ein ξ aus ]0;1[ mit  g(ξ ) = 0, dann ist dieses

das gesuchte ξ. 

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Tut mir leid :/ ich verstehe zwar deine Rechnung aber was hat das mit dem zwischenwertsatz zu tun?

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oder (Zwischenwertsatz)

Es gibt ein ξ aus ]0;1[ mit  g(ξ ) = 0; denn dann ist ja

g(0) < 0 und g(1) >0 also gibt es nach dem

ZWISCHENWERTSATZ dazwischen (also zwischen 0 und 1) ein ξ

mit   g(ξ ) = 0    also    g(ξ ) = f( ξ )  -   ξ   =  0

also      f( ξ )  -   ξ 

Dann ist dieses das gesuchte ξ.   

Wird's klarer  ?

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Ja, so langsam aber sicher, wird es klarer, danke :D