Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes zeigen, dass eine Lösung mit x > 0 existiert.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass die folgenden Gleichungen eine Lösung \( x>0 \) besitzen:

a) \( \quad \mathrm{e}^{\sin \left(x^{2}\right)}+\sin (x)=x^{3} \)

b) \( \quad \frac{3}{2} \cos (x)-\frac{1}{2} \sin (x)=\mathrm{e}^{x} \)

Problem/Ansatz:

Bei (a) habe ich x³  auf die linke Seite der Gleichung gebracht, sodass = 0 gilt.

Ich habe f(0) berechnet und herausbekommen, dass 1 > 0.
Als zweiten Wert habe ich mir \( \frac{\pi}{2} \) überlegt. Jedoch komme ich damit nicht weiter. Abschätzen habe ich bereits versucht, komme aber auf keine richtige Lösung. Tipps für die (b) wären auch super.

Answer 1

Hallo, 

Taschenrechner ins Bogenmaß (RAD) einstellen!

a)  \(e^{sin(x^2)}+sin(x)=x^3\)

Die Lösungen sind die Nullstellen der stetigen Funktion \(f(x)=e^{sin(x^2)}+sin(x)-x^3\)

f(1) ≈ 2,16  und f(2) ≈ - 6,62

Die Funktion f hat also im Intervall  ] 1 : 2 [  einen Vorzeichenwechsel und damit wegen der Stetigkeit nach dem Zwischenwertsatz (#) eine Nullstelle ( = Lösung der gegebenen Glleichung )

b)  analog
     mit  f(0) = ...  und f(1) =  ...   wirst du sehr schnell  fündig

(#)  INFO:  https://www.massmatics.de/merkzettel/#!100:Der_Zwischenwertsatz

Gruß Wolfgang

Comments

Guten Morgen,

danke für die Antwort. Leider dürfen wir keinen Taschenrechner verwenden. Könntest du mir zeigen, wie ich es geschickt abschätzen kann oder mit einfachen Werten händisch ausrechnen kann?

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Dann musst du bei a) bzw. b) jeweils zwei Werte a und b nehmen, für die f(a) und f(b) jeweils verschiedenes Vorzeichen hat und für die man die Funktionswerte ohne TR ausrechnen oder zumindest abschätzen kann;

bei a)  gehen  a = √π  und  b = 0

            wie in der Antwort von hairbeRt

bei b)  gehen

 a = 0       mit       f(0) =  3/2·COS(0) - 1/2·SIN(0) -  e⁰

                                  = 3/2 · 1 -  0  - 1  = 1/2 > 0

 b = π/2    mit   f(π/2) =  3/2·COS(π/2) - 1/2·SIN(π/2) -  e^π/2

                                  = 0  - 1/2  - e^π/2   < 0

                    →  Nullstelle in  ]  0 ; π/2 [

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immer wieder gern :-)

Answer 2

Hi DonalDuck: Ja, es geht auch ohne Taschenrechner, ich nehme Nullstellen der sin-Funktion, um die Terme einfacher zu machen.

Wie oben suchst du nach Nullstellen von \(f(x)=e^{\sin(x^2)}+\sin(x)-x^3\).

Du weißt, dass \(f(0) = e^0+0-0^3 = 1\), da \(\sin(0)=0\). Außerdem gilt:

\(f(\sqrt{\pi}) = e^{\sin(\pi)}+\sin(\sqrt{\pi}) - \sqrt{\pi}\cdot\pi\leq 1+1-3 =-1<0\), weil der linke Summand genau 1 ist, der mittlere wegen des Sinus höchstens 1 ist und der rechte wegen Pi-mal-etwas-was-mehr-als-eins-ist höchstens -3 sein kann.

Also hast du eine Nullstelle im Intervall \((0,\sqrt{\pi})\), also zwischen 0 und in etwa 1,77.

So eine ähnliche Abschätzung kannst auch auch in der b machen, wähle dir Zahlen, sodass wenigstens eine der Funktionen recht einfach aussieht.

Comments

Also hast du eine Nullstelle im Intervall ...

Mit also meinst du vermutlich

Wegen der Stetigkeit der Funktion hast du nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle im Intervall ...

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Danke hairbeRt!