Surjektivität von Abbildung f

Question

Komme bei dieser Aufgabe hier nicht weiter:

Sei f: X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

(i) f ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung g: Y → X gibt, so, dass f ο g  = 1_Y gilt.

(ii) f ist genau dann surjektiv, wenn f(f^-1(B)) = B für jede Teilmenge B ⊂ Y gilt

Answer 1

(i) f ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung g: Y → X gibt, so, dass f ο g  = 1_Y gilt.

f surjektiv ⇒ Für jedes y aus Y gibt es ein x aus X mit f(x) = y . Wähle eines dieser x aus und benutze es
als g(y). Dann hast du die geforderte Abb. g konstruiert.

umgekehrt:  Es gibt eine Abbildung g: Y → X gibt, so, dass f ο g  = 1_Y .
⇒Sei y aus Y, dann gilt  f(g(y)) = y  und mit   x=g(y) gibt es ein x aus X mit
f(x) = y.  Also f surjektiv.

(ii) f surjektiv  und  sei  B ⊂ Y   .

Sei y  aus B  ⇒ wegn surj. gibt es x aus X mit f(x) = y , also x aus f^-1(B)  also f(x) aus f(f^-1(B)),

also y aus f(f^-1(B)),   Damit   ist  B  ⊂ f(f^-1(B)) .

Sei y aus  f(f^-1(B)) , dann gibt es x aus f^-1(B)  mit f(x) = y , also y aus B .
Damit   ist  f(f^-1(B))   ⊂ B.

Insgesamt also   f(f^-1(B)) = B

umgekehrt:    Für jede Teilmenge B ⊂ Y gilt f(f^-1(B)) = B.
Sei y aus B .  Um "surjektiv" zu zeigenm muss ein x aus X gefunden
werden mit f(x) = y.
wegen   f(f^-1(B)) = B  ist y aus     f(f^-1(B)), also gibt es ein x aus   f^-1(B)
mit f(x) = y  .  Da  f^-1(B) ⊂ X ist   x aus X.   q.e.d.