+1 Daumen
287 Aufrufe

Hallo ich habe Folgende Aufgabenstellung gegeben (Bild) : Es gilt zu Zeigen: 1) das die Folge an konvergiert .Und 2) man soll (falls möglich) den Grenzwert bestimmen.Bild Mathematik

Für Konvergenz ist einerseits Monotonie und beschränktheit nötig.

Monotonie kann man sich die ersten Folgenglieder aufschreiben und eine vermutung aufstellen das die Folge zb bei allen geraden Indezes monoton steigt und bei allen ungeraden indezs monoton fallend.Das ist aber nicht eindeutig wenn nicht alle Folgenglieder steigen oder fallen.

Bei Beschränktheit fällt mir ein wenn also die 2 Teilfolgen die aus geraden und nichtgeraden Indezes bestehen sich mit sicherheit jeweils einem Gw annähern und somit besitzen sie auch eine Obereund untereSchranke.

Jedoch wie zeigt man das?. bzw. gibt es andere Vorschläge bzw. Ideen diese Aufgabe effizienter zu lösen?

Den Grenzwert vermute ich bei 2/3 .Ich habe mir eine explizite formel aufgestellt die lautet an=[2^n -(-1)^n]/(3*2^{n-1}] der Zähler bildet dabei eine Rekursionsformel für die Jacobszahlen und der Nenner einfach darauf angepasst.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Für Konvergenz ist einerseits Monotonie und beschränktheit nötig.

stimmt so nicht:   konvergent kann eine Folge auch sein, wenn sie nicht monoton

( wie in deinem Beispiel) ist.

Wenn deine explizite Formel stimmt, ( und die kannst du wohl mit vollst.

Induktion beweisen) ist doch die Konvergenz kein Problem,

denn dann gilt

an = [2n -(-1)n]/(3*2n-1]  also für alle n aus N

[2n -1 ]/(3*2n-1] ≤ an  ≤  [2n +1]/(3*2n-1]    also 

[2 -1/2n-1]  /  3  ≤ an  ≤    [2 +1/2n-1]  ] / 3

Und die Zähler gehen beide gegen 2 also ist der GW = 2/3 .

(Einschließungssatz s. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz)

Avatar von 287 k 🚀

Dankeschön für die aufklärende Antwort , Ich hab die Induktion gemacht und verwende nun die gennante Einschlussregel. Interessant ist " konvergent kann eine Folge auch sein, wenn sie nicht monoton

( wie in deinem Beispiel) ist." das habe ich nicht gewusst deswegen war ich etwas verwirrt .

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community