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Guten Abend Leute,

ich hab folgende Hürde vor mir an der ich aus mir unerklärlichen Gründen nicht vorbeikomme. Ich zitiere die Aufgabe:

"Es sei a > 0 und x1 ∈ (0,1/2a) vorgegeben. Die Folge (xn)∞n=1 sei rekursiv definiert durch
xn+1 = (3/2)xn− axn2 (n ∈ N).
Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (xn)∞n=1, indem Sie wie folgt vorgehen. Zeigen Sie:
(a) xn ∈ (0,1/2a) (n ∈ N).
(b) (xn)∞n=1 ist monoton.
(c) Folgern Sie die Konvergenz.
Berechnen Sie außerdem den Grenzwert der Folge."

Ich hab ehrlich gesagt absolut keine Ahnung wie ich diese Bestie bewältigen soll (bin ein verzweifelter Erstsemestler :( ).

Ich hab versucht mir die Funktion an sich anzuschauen, aber es handelt sich ja um eine gespiegelte Parabel, die konvergiert doch gegen gar nichts, oder irre ich mich? Darüber hinaus weiss ich nicht, wie ich mit dem Schritt in (a), also dem Intervall umgehen soll. Das ist das, was mich am meisten aus der Fassung bringt (Das Skript meines Profs kann ich in die Tonne hauen, da es einfach gar nicht weiterhilft). Und das mit der Monotonie versteh ich auch nicht auch, also wie man das bestimmt, ich weiss dass man daraus logischerweise Konvergenz folgern kann, da es ja zB monoton wachsen könnte und gegen eine Schranke konvergiert (das wäre dann auch das supremum oder). Aber bei dieser Aufgabe seh ich schwarz.

Ich bitte um hilfe! Danke vielmals im voraus!

Gefragt von

Du musst erst mal reinfinden und ein Gefühl für das bekommen, was mit der Folge passiert.

Gib die eine Zahl a vor, z.B. a=10.

Dann muss xkleiner als 1/(2*10)=1/20 sein, z.B. 0,04.

Rechne nun x2 mit

x1+1 = (3/2)x1− 10x12  aus.

Verwende x2, um mit

x2+1 = (3/2)x2− 10x22   den Wert für x3 auszurechnen.

Verwende x3, um mit
x3+1 = (3/2)x3− 10x32  den Wert für x4 auszurechnen.

Betrachte nun die Folge von x1 bis x4 und erkenne erst mal für dich, dass sie bis jetzt die zu beweisenden Eigenschaften hat.

PS: Schau mal was passiert, wenn x1 nicht kleiner als 1/(2a), sondern gleich 1/(2a) wäre.

Also ich hab mal bisschen rumprobiert, und herausgefunden, dass wenn x1 = 1/1a ist, dann 1/2a rauskommt. Weiterhin hab ich bemerkt (kann auch falsch sein) dass die Folge allgemein im Intervall (0, 1/2a) immer gegen 1/2a konvergiert.

Dann kam mir darauf die Idee, dass ich die (a) so begründe, dass xn ∈ (0, 1/2a) ist, da die folge immer gegen 1/2a konvergiert, und somit alle werte xn < 1/2a im Intervall liegen müssen. Dafür müsste ich aber Monotonie voraussetzen, was ich erst in der (b) soll. Deshalb ist mein Lösungsweg demnach glaube ich nicht so prickelnd. Aber ich hab wenigstens paar Erkenntnisse gemacht

2 Antworten

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Zur Monotonie solltest du mal die Differenz

xn+1 -xn =(3 /2)xn− axn2   - xn betrachten.

Das ergibt  0,5xn− axn2 , und nun solltest du mal schauen, ob das im in Frage kommenden Intervall immer positiv oder immer negativ ist.

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Hallo

1. dass du x1=1/a nimmst ist schon mal schlecht, weil es ja kleiner 1/2a sein soll! und das ist 1/a sicher nicht.

a) da x1 zwischen 0 und 1/2a liegt nimm x1=1/2a-d wobei 0<d<1/2a ist, setze das ein und zeige, dass dann x2 auch <1/2a ist, dann mit vollständiger Induktion aus xn<1/2a auf xn+1<1/2a schließen, derselbe Schluß wie von 1 nach 2.

wenn du a) hast Monotonie: entweder xn+1/xn>1 oder xn+1-xn>0 für monoton steigend.

Gruß lul

Beantwortet von 12 k

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