Monotonieverhalten einer Folge berechnen: an= (5n-3)/(3n+2)

Question

ich muss folgendes Monotonieverhalten der Folge beweisen.Ich bin aber leider im dem Gebiet komplett unwissend deshalb bitte ich euch um Hilfe vielen dank !

lg

an= (5n-3)/(3n+2)

Answer 1

Berechne

an+1 - an =  (5(n+1)-3)/(3(n+1)+2) -  (5n-3)/(3n+2)

Vereinfache den Bruchterm so weit wie möglich und kontrolliere, ob du etwas rausbekommst, das (allenfalls ab einer gewissen Stelle) immer grösser oder immer kleiner als 0 ist.

Anhand der 1. oder 3. "alternate form" hier

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%285%28n%2B1%29-3%29%2F%283%28n%2B1%29%2B2%29+-++%285n-3%29%2F%283n%2B2%29+

kannst du sagen, dass kannst du einfach erklären, dass immer etwas positives hier steht, für n> 0.

==> (an) ist streng monoton steigend.

Answer 2

für alle \(n\) gilt$$\begin{aligned}a_{n+1}-a_n&=\frac{5n+2}{3n+5}-\frac{5n-3}{3n+2}\\&=\frac{(5n+2)(3n+2)-(5n-3)(3n+5)}{(3n+5)(3n+2)}\\&=\frac{19}{(3n+5)(3n+2)}>0.\end{aligned}$$Es folgt \(a_{n+1}>a_n\), d.h. die Folge ist monoton steigend.

Comments

Vielen dank für die super anwort, jedoch wo sehe ich bei der endantwort dass sie steigend ist ? muss ich den bruch logischerweise zuerst ausrechnen oder wie kommst du zum schluss dass er steigend ist ?

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Da Zähler und Nenner beide grösser als 0 sind, ist der Bruch automatisch grösser als 0.