Monotonie der Folge (5n+1)/(3n+2) beweisen

Question

Ich soll die streng wachsende Monotonie der Folge (5n+1)/(3n+2) beweisen.

Generell gilt ja a_n< a_n+1  = streng monoton wachsend

Also müsste ich dies als Gleichung machen

(5n+1)/(3n+2) < (5n+1)/(3n+1+2)

Das stimmt ja sicher nicht :( .. Wie rechne ich das richtig aus?

Answer 1

a_n = $$ \frac { 5n + 1 }{ 3n + 2 } $$

a_n+1 = $$ \frac { 5\cdot(n+1) + 1 }{ 3\cdot(n+1) + 2 } $$

a_n+1 = $$ \frac { 5n+6 }{ 3n+5 } $$

Also muss gelten:

$$ \frac { 5n+1 }{ 3n+2 } < \frac { 5n+6 }{ 3n+5 } $$

Erweitere den linken Ausdruck mit (3n+5) und den rechten Ausdruck mit (3n+2) und du erhältst

$$ \frac { 15n^2+28n+5 }{ 9n^2+21n+10 } < \frac { 15n^2+28n+12 }{ 9n^2+21n+10 } $$

, also hast du damit die Monotonie bewiesen.

Answer 2

Hi, rechnen musst Du wie folgt

$$ \frac{5n+1}{3n+2} < \frac{5n+6}{3n+5} $$ das is äquivalent zu
$$ 15n^2+28n+5 < 15n^2+28n+12 $$
was offensichtlich richtig ist.

Comments

Ohne genaue Zwischenschritte hilft mir das gar nicht. Sorry... habe keine Ahnung wie du auf das kommst

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Die Ungleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren.

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Du meinst wohl eher erweitern, damit die beiden Brüche gleichnamig gemacht werden.

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Wenn ich meine multiplizieren meine ich das auch.

Answer 3

Könntest es auch mit vollständiger Induktion beweisen!

Comments

Könntest du es?

Answer 4

$$ { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=\frac { 5n+6 }{ 3n+5 }-\frac { 5n+1 }{ 3n+2 }=\frac { 7 }{ (3n+2)*(3n+5) }>0$$

Ich habe zuerst die Differenz auf den Hauptnenner gebracht. DEr letzte Bruch ist immer größer Null, weil n>=0.

Deshal ist die Folge monoton steigend.