Koordinatenabbildung zur Basis bestimmen

Question

Gegeben sei der Vektorraum
$$ V=\left\{\left(\begin{array}{ll} {a} & {0} \\ {b} & {c} \end{array}\right) | a, b, c \in \mathbb{R}\right\} $$
mit den Basen
$$ \mathcal{B}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{cc} {-1} & {0} \\ {0} & {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} {-2} & {0} \\ {1} & {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {1} & {-1} \end{array}\right)\right\}, \quad B_{2}=\left\{\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} {-1} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right)\right\} $$

Ich möchte hier K_B1 bestimmen.

Gemacht habe ich folgendes:

\( \left(\begin{array}{ll}{\alpha} & {0} \\ {\beta} & {\gamma}\end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{cc}{-1} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{cc}{-2} & {0} \\ {1} & {0}\end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {1} & {-1}\end{array}\right) \)

\( \left(\begin{array}{c}{-2 \alpha-\beta+\gamma} \\ {\beta+\gamma} \\ {-\gamma}\end{array}\right) \)

Comments

Sprich alpha=-alpha+(-2beta)+gamma

beta=beta+gamma

gamma=-gamma

0=0

und dann die Koordinatenabbildung aufgeschrieben, ist das so korrekt?

Answer 1

So stimmt das m.E. nicht.  Du musst doch vorne andere Variablen als hinten wählen

etwa

a=-alpha+(-2beta)+gamma

b=beta+gamma

c=-gamma

0=0

und da  alpha, beta, gammain Abhängigkeit von a,b,c ausrechnen.
Was da rauskommt sind dann die Koordinaten bzgl B1

Comments

Ok, aber das Ergebnis ist in einem Vektorraum anzugeben und nicht in einer Matrix?

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Klar, das sieht dann so aus:

a=-alpha+(-2beta)+gamma

b=beta+gamma

c=-gamma   ⇒    gamma = -c

b=beta+gamma   ⇒    beta = b - gamma =  b + c 

a=-alpha+(-2beta)+gamma  ⇒   alpha = -a -2beta+gamma

alpha = -a -2( b + c  )  - c =  -a - 2b - 3c

und der Koordinatenvektor ist dann (   -a - 2b - 3c;  b + c ;  -c )

Probe :  Einsetzen von    alpha =   -a - 2b - 3c

beta  =  b + c 

gamma = -c

in der rechten Seite von

rotiere

gibt die gewünschte Matrix
a   0
b   c

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Ok, jetzt ist alles klar, danke dir.