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Es sei V der reelle Vektorraum der Polynome von Grad <= 2. a,b sind reelle Zahlen.

Die Aufgabe ist bestimme eine Basis von W = {f aus V | f(a) = 0}

Die Lösung sieht so aus:

Das Polynom c + dX + eX^2 aus V liegt in W wenn c + da + ea^2 = 0

Und eine Basis von W ist {X -  a, X^2 - a^2} mithilfe des Gauss-Normalform und (-1)-Trick

Ich bin mir ziemlich verwirrt, wo kommt die Basis her und wie man das eigentlich berechnet.

Ich würde mich auf jede Hilfe freuen

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Beste Antwort

> c + da + ea2 = 0

Es müssen c, d, und e bestimmt werden. Erweitete Koeffizientenmatrix ist also

        (1 a a2 0)

Die Matrix ist bereits in Gauss-Normalform. Lösungsmenge ist

        { (-ea2-da, d, e) | d, e ∈ ℝ }

    = { e(-a2 , 0, 1) + d(-a, 1, 0) | d, e ∈ ℝ }

also die Menge aller Linearkombinationen aus den Vektoren

        (-a2 , 0, 1) und (-a, 1, 0).

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Danke für die Antwort.
Sollte das nicht sein, dass die Lösungsmenge

{(-ea^2-da),d,e} = {e (-a^2 , 0, 1) + d (-a , 1, 0 ) }

ist? Somit ist die Linearkombination {-a^2 + x^2 , -a + x}
Wenn Ihre Lösung als Linearkombination geschrieben wird ist ja {-a^2 + a^2x^2 und -a+xa}, nicht wie im Lösungsvorschlag.

> {e (-a2 , 0, 1) + d (-a , 1, 0 ) }

Ja, da hast du recht. Der Fehler war aber schon eine Zeile vorher, bei

        (-ea2-da, da, ea2)

Korekt ist

        (-ea2-da, d, e).

Es ist ja (1 a a2 | 0), d.h. c + ad + a2 e = 0 => c = -ad - a2 e. Da d und e beliebig: Losungsmenge = { (c, d, e) } = { (-ad - a2 e , d , e) } = {e (-a2 , 0 , 1) + d (-a , 1 , 0 ) } 

Warum ist aber (-ea2, 0, ea2) gewünscht? :/

Ich habe meinen Kommentar und die Lösung noch mal überabeitet.

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    Will ich  doch mal den Spieß umdrehen und richtig schön akademisch beweisen, dass  deine beiden Funktionen eine Basis von W bilden.

    Aber fangen wir vorne an; du beschreibst eine Mannigfaltigkeit von Polynomen vom Grade n  <  3


      p  (  x  ;  e  ;  d  ;  c  )  :=  e  x  ²  +  d  x  +  c        (  1  )


        durch die Nebenbedingung


        (E)  a  |  e  a  ²  +  d  a  +  c  =  0             (  2   )


    Diese Mannigfaltigkeit   wollen wir W  =  W  (  a  )   nennen; Behauptung:  W  (  a  )  ist Vektorraum. Drei Dinge sind zu zeigen


        1)  Das Nullpolynom befriedigt  ( 2 )

      2)  Homogenität;   ist ( 1 )  eine Lösung von ( 2 ) , so auch p_k  (  x  )  :=  k  p  (  x  )

     3) Additivität:  Mit p1 und p2 ist auch ( p1 + p2 )  Lösung.


     Jetzt führst du   zwei Basisfunktionen ein.


      b1  (  x  )  :  e1  =  0  ;  d1  =  1  ;  c1  =    -  a            (  3a  )

     b2  (  x  )  :=  e2  =  1  ;  d2  =  0  ;  c2  =  -  a  ²         (  3b  )


         Unser Unterricht in -frankfurt war ja Spitze; aber mit dem Begriff Basis machten unsere Assistenten doch ganz schön Larifari. Weil die Info aus Wiki fand ich so toll, dass ich euch empfehle, das auswändig zu lernen:


         SATZ  und  DEFINITION   (  Basis  )

    ==========================================


       Ein Vektorensystem heißt Basis, wenn es eine der vier äquivalenten Eigenschaften erfüllt


       1)   eindeutig                                        Erzeugendes

       2)  minimales                                                  "

       3)                        linear unabhängiges            "

       4)   maximal          "               "


     ========================================================



     Alle Beweise und Erläuterungen in Wiki.  In Frankfurt haben sie unsere Aufmerksamkeit auf folgende Verständnisfrage gelenkt;  bilden   alle  ( überabzählbar vielen ! ) Vektoren des |R  ³  zusammen ein Erzeugendes ?  Ja.   Denn stets   besteht eine Linearkombination  ( LK  )   aus einer  ENDLICHEN Summe;  so etwas wie unendliche Reihen, Taylor-oder Fourierrreihen ist NICHT zugelassen -  ein weit verbreitetes Missverständnis.  Wieder mal so eine typische Paradoxie; der Werkzeugkasten darf durchaus unendlich viele Elemente enthalten. Allein deine konkrete Auswahl hat sich auf endlich viele zu beschränken.

         Was mir doch später sehr geholfen hat; was haben sie uns gedrillt.  In obigem Teorem steht, eine Basis sei ein Erzeugendes. WAS ist bei Erzeugendem zu zeigen? Beide Richtungen;  die lineare Hülle der  Vektoren b1 und b2 liegt in W , ist Unteraum von W .  Und dann die Umkehrung:  Jedes Polynom aus W lässt sich schreiben als LK  von b1 und b2 .

   Die erste Richtung ist trivial;  du musst nur  an Hand von ( 2 ) nachprüfen, dass ( 3ab ) selber Elemente von W sind.  Wegen der Vektorraumeigenschaft von W folgt diese Aussage dann auch für jede LK .

    Mit der Umkehrung tun wir uns etwas schwer; es reicht ja voll aus, dass mir der liebe Gott die richtige Lösung gesagt hat.   Für Polynom ( 1 ) musst du    setzen


           p  (  x  )  =  d  b1  +  e  b2  =      (  4a  )

                          =  e  x  ²  +  d  x  -  e  a  ²  -  d  a        (  4b  )


     Koeffizientenvergleich  (  KV  )  mit  ( 1 ) ergibt


        c  =  -  (  da  +  e  a  ²  )       (  4c  )


      in Übereinstimmung mit ( 2 )   wzbw  .

    An sich müssten wir uns beim Beweis von Basis nur für einen der vier Unterpunkte entscheiden;  ich will aber alle vier vorführen, um einmal zu zeigen, wie sich die Betrachtungsweise ändert.

    Was wir bis Jetzt gezeigt haben, ist Erzeugendes. Wir sahen schon; ein Erzeugendes kann sehr aufgeplustert sein; und daher rührt die Uneindeutigkeit. So könnte ich beispielsweise den Nullvektor schreiben als  1 * 0  oder alternativ as  ( x + y )  - x -  y   Unter Punkt 1 steht, wenn ich das Erzeugende  so weit abspecke,  " herunter breche "  , wie das Neudeutsch heißt, dass die Darstellung eindeutig wird, kommen wir zu einer Basis; die Behauptung


      ß1  b1  +  ß2  b2  =  µ1  b1  +  µ2  b2   ===>  ß1;2  =  µ1;2         (  5a  )

    ß2  x  ²  +  ß1  x  -  a  (  ß1  +  ß2  a  )  =  µ2  x  ²  +  µ1  x  -  a  (  µ1  +  µ2  a  )       (  5b  )

    (  ß2  -  µ2  )  x  ²  +  (  ß1  -  µ1  )  x  +  a  [  µ1  -  ß1  +  a  (  µ2  -  ß2  )  ]  =  0     (  5c  )


      KV der beiden  x ²  - Terme lehrt , dass  ß2  =  µ2  ;  entsprechend für den linearen Term.

    In Punkt 2) war die Rede von Minimalität ( Erzeugendes brauchen wir ja nicht mehr nachweisen. )  Minimalität und Minimalität ist aber zweierlei;  stell dir vor in einer Ebene  E  im |R  ³  liegen die 4 710 Vektoren


                     e1  ;  ...  ;  e_4 710  €  E          (  6  )


        und e_4711  möge senkrecht stehen auf E  .  Zweifel los bilden diese 4 711 Vektoren ein Erzeugendes des |R ³  ;  sie tun es auch noch, wenn du e1 heraus nimmst. Aber nicht mehr, wenn du e_4 711  weg nimmst.    Offenbar sind manche Vektoren wesentlich, andere nich. Atber unser System war ja gar nicht minimal;  es stellte sich heraus, dass du einzelne Vektoren heraus nehmen konntest. Bei einer Basis kann das genau nicht passieren;
 der Beweis ihrer Minimalität geht genau so, dass du einen beliebigen Vektor weg nimmst; und die restlichen sind nicht mehr im Stande, den fehlenden aufzuspannen.

    Da wir aber noch nicht wissen, ob ( 3ab ) tatsächlich eine Basis ist, müssen wir nacheinander beide Basispolynome heraus nehmen.   Da aber einerseits gilt  e2 = 1  , d2  = 0  und andererseits  e1  = 0  ,  d1 = 1  , können diese Vektoren nicht linear abhängig sein .  Dieser Beweis erweist sich als überraschend einfach.

    In Punkt 3) war die Rede von linearer Unabhängigkeit. Diese Argumentation wird in der Tat nicht so kompliziert wie oben   ( 5a )


          ß1  b1  +  ß2  b2  =  0  ====>  ß1;2  =  0      (  7a  )

     ß2  x  ²  +  ß1  x  -  a  (  ß1  +  a  ß2  )  =  0     (  7b  )


    und daraus die Behauptung.

   Punkt 4 bringt uns ümrigens nichts wesentlich Neues  ; die Forderung der maximalen linearen Unabhängigkeit besagt doch nur, dass ab Jetzt jedes Polynom ( 1 )    erzeugt wird von den Basispolynomen - und das hatten wir schon.

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Hallo

V ist 3 d ist das klar? dann ist W 2d, also brauchst du 2 linear unabhängige Vektoren in W.$$ p_1=x-a ,und, p_2=x^2-a^2$$ sind linear unabhängig und erfüllen die Bedingungen von W. fertig

natürlich kannst du auch zeigen dass man jedes Polynom c + dX + eX^2 mit der Bed,

c + da + ea^2 = 0 als Linearkombination der 2 darstellen kann, aber das ist eigentlich nicht nötig, nur dass x-a und x^2-a^2 lin unabhängig sind muss man eigentlich zeigen.

Gruß Lul

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War aber nicht meine Frage. Mir ist klar dass sie linear unabhängig sind, wie man auf die Basis kommt war mir unklar. Aber gut das verstehe ich schon.

Gruß

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