Sind die Vektoren linear unabhängig? In R^2, Z7^2, R^3 und K^3

Question

(a) Sind die Vektoren \( \left(\begin{array}{l}{3} \\ {4}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{2} \\ {5}\end{array}\right) \) in dem Vektorraum \( \mathbb{R}^{2} \) linear unabhängig?

(b) Sind die Vektoren \( \left(\begin{array}{l}{3} \\ {4}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{2} \\ {5}\end{array}\right) \) in dem Vektorraum \( \mathbb{Z}_{7}^{2} \) linear unabhängig?

(c) Sind die Vektoren \( \left(\begin{array}{l}{2} \\ {3} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {4} \\ {0}\end{array}\right) \left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) \) in dem Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) linear unabhängig?

(d) Finden Sie einen endlichen Körper \( K, \) so dass die Vektoren \( \left(\begin{array}{l}{2} \\ {3} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {4} \\ {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) \) in dem Vektorraum \( K^{3} \) linear abhängig sind.

Bei allen Teilaufgaben ist eine Begündung anzugeben.

Answer 1

a) und c) sind linear unabhängig.

Begründung: Determinanten ≠0

a) 3*5 - 2*4 ≠0

c) 16 + 0+0-0-0-0 ≠ 0

b) 3*5 - 2*4 = 7 ≡ 0 modulo 7. Daher linear abhängig.

d) 16  ≡ 0 modulo 16. Daher linear abhängig in Z16³.