Linearkombination, Beweise

Question

hallo

bei (i) sieht es irgendwie sehr verständlich aus; also z ist ja "0" und die beiden Vektoren aus U1 haben auch z=0.  und die "1" und "-1" spannen dann den gesamten R^2.

Ich weiß nicht genau, was ich hier zeigen soll bzw. wie.

Danke für jeden Tipp/Antwort.

Answer 1

Gleichheit von Mengen A=B zeigt man in zwei Schrittten:

• Man zeigt A⊆B, also x∈A ⇒ x∈B ∀x.
• Man zeigt B⊆A, also x∈B ⇒ x∈A ∀x.

Beispiel L(U₁) ⊆ {(x,y,z)∈ℝ³ | z=0}:

Sei  (x,y,z) ∈ L(U₁). Ferner seien r,s∈ℝ mit (x,y,z) = r(1,-1,0) + s(1,1,0). Solche r,s existieren aufgrund der Definition von L(U₁). Insbesondere ist dann z = r·0 + s·0 = 0, also (x,y,z) ∈ {(x,y,z)∈ℝ³ | z=0}.

Für die andere Reichtung {(x,y,z)∈ℝ³ | z=0} ⊆ L(U₁) könntest du versuchen, (x,y,0) als Linearkombination der Vektoren aus U₁ darzustellen.

Comments

dankee!! jetzt habe ich eine genauere Vorstellung, was ich machen soll.

Frage zu der anderen Richtung:

geht das hier:

(x,y,0) = r(1,-1,0) + s(1,1,0)

?

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> geht das hier: (x,y,0) = r(1,-1,0) + s(1,1,0)

Das ist der richtige Ansatz. Jetzt musst du nur noch r und s bestimmen.

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hab ich:

$$s= \frac { x +y }{ 2 } $$
$$r= \frac { x - y }{ 2 } $$

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ist das so richtig?

und könntest du mir vielleicht noch ein ansatz für (ii) geben...also eine Richtung...
hier sind drei Vektoren..

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> ist das so richtig?

Das ist so richtig.

ii) geht genau so wie i):

1. Zeige dass jede Linearkombination von Vektoren aus U₂ in {(x,y,z)∈ℝ³ | z=x+y} ist.
2. Zeige dass jeder Vektor aus {(x,y,z)∈ℝ³ | z=x+y} sich als Linearkombination von Vektoren aus U₂ darstellen lassen kann.