Anwendung der Ableitungsfunktion in der Geometrie - Oberfläche und Volumen der Kugel

Question

Gib den Funktionsterm an, der das Volumen einer Kugel in Anhängigkeit von ihrem Radius beschreibt. Bestimme die zugehörige Ableitungsfunktion und erkläre das Ergebnis anschaulich.

Also Das Voumen einer Kugel ist 4/3 pi r^3

Und die Ableitung der Funktion ist die Oberfläche der Kugel: 4 pi r^2

Aber wie kann man das erklären?

Danke schon im Voraus für eure Hilfe!

Answer 1

$$dV=O\,dr.$$

Wenn man bei einer Kugel mit Radius \(r\) und Oberflaeche \(O\) den Radius \(r\) um ein infinitesimales bisschen \(dr\) auf \(r+dr\) vergroessert, dann vergroessert sich das Volumen \(V\) der Kugel um \(dV=O\,dr\). Das ist wie bei einer ebenen Grundflaeche.

Also $$\frac{dV}{dr}=O.$$

Das ist das Motto der Differentialrechnung: Im Kleinen wird alles linear. -- Weil im Kleinen der nichtlineare Zuwachs (hier durch die gekruemmte Grundflaeche statt einer ebenen Grundflaeche verursacht) gegenueber dem linearen Zuwachs vernachlaessigt werden kann.

Comments

Der Pluspunkt ist von mir :-)

(Wollte gerade etwas Ähnliches schreiben und hab recht lange gebraucht, um auf die Idee zu kommen))