Partialbruchzerlegung angeben von (3x ^5 +9x ^4 −4x ³ −25x ^2 +10x+25)/( x ³ +3x ^2 −4 )

Question

Hallo ich muss eine Partialbruchzerlegung angeben aber echt keine Ahnung wie das geht -.- es ist echt schlimm wenn man paar Tage Krank ist und dann neue Sachen werden angewendet -.- also ich brauche echt eure Hilfe !

ALSO nochmal die Aufgabe

muss Partialbruchzerlegung von :  (3x ⁵ +9x ⁴ −4x ³ −25x ² +10x+25)/( x ³ +3x ² −4 ) angeben.

Hat jemand Ahnung ? und kann mir dabei Helfen? Ich wäre echt Dankbar !

Vielen Dank ! :-)

Comments

Vor der Partialbruchzerlegung steht die Polynomdivision.

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision

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sry aber sowas hilft mir nicht weiter ich würde gerne das jemand zeigt auf beispiel dieser funktion wie das geht

Answer 1

da der Grad des Zählers > als der Grad des Nenners ist, führst du zuerst eine Polynomdivision durch:

Hier ist ein Link, wo das erklärt ist:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

Dort mußt Du Deine Aufgabe händisch eingeben und Du siehst dann den Weg.

Ergebnis:

=3 x^2 -4 + (-x^2+10x +9)/(x^3+3x^2-4)

Jetzt mußt Du von dem Ausdruck:

(-x^2+10x +9)/(x^3+3x^2-4) eine Partialbruchzerlegung machen:

Ansatz:

(-x^2+10x +9)/(x^3+3x^2-4) = (-x^2+10x +9)/((x-1)(x+2)^2)= A/(x-1) +B/(x+2) +C/(x+2)^2

falls Du das laut Aufgabe lösen mußt, dann durch die Einsetzmethode

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bei mir funktioniert diese seite irgendwie nicht hab alles eingegeben und es kommt nichts raus xD

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und ist das A/(x-1) +B/(x+2) +C/(x+2)² lösung oder muss ich noch was damit machen ?

Answer 2

ich verwende die letzte Gleichung von Grosserloewe aus Antwort 1 

(-x²+10x +9)/((x-1)(x+2)²)= A/(x-1) + B/(x+2) + C/(x+2)²

(ich benutze im Folgenden a,b,c für A,B,C  weil es sich besser tippt)

[ - der mir mal wieder seine Arbeit überlässt: :-) - ]

Wenn du diese mit dem Hauptnenner  (x - 1)·(x + 2)² multiplizierst, dann ausmultiplizierst und nach x-Potenzen zusammenfasst, erhältst du

- x² + 10x + 9 = (a + b) ·  x² + (4·a + b + c) · x  + 4·a - 2·b - c

Jetzt kannst du die Koeffizienten bei den x-Potenzen "vergleichen":

a + b = -1

4·a + b + c = 10 

4·a - 2·b - c = 9

Dieses lineare Gleichungssystem (du musst einfach G2+G3 rechnen und ein System mit 2 Unbekannten lösen)  hat die Lösung :

a = 2 ∧ b = -3 ∧  c = 5   

damit lautet dein Term

(3x ⁵ +9x ⁴ −4x ³ −25x ² +10x+25) / ( x ³ +3x ² −4 ) =

3 x² -4  +  (-x²+10x +9) / (x³+3x²-4)   (aus Polynomdivision)

= 3x² -4   +   a / (x-1)   +   b / (x+2)   +   c / (x+2)² 

= 3x² -4  +  2 / (x-1)  -  3 / (x+2)  +  5 / (x+2)²  

 3x² -4  (ganzrationaler Anteil (weil der Zählergrad um 2 höher ist als der Nennergrad)

2 / (x-1)  -  3 / (x+2)  +  5 / (x+2)²   (Partialbruchzerlegung)

[ man kann a,b,c mit der Grenzwertmethode rechnerisch etwas einfacher bestimmen, aber sie mutet nicht sehr verständlich an, wenn ihr sie nicht behandelt habt ]

Gruß Wolfgang

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Vielen Dank du hast mir echt geholfen (: