Partialbruchzerlegung: (2x^2+9x+12)/(x^2+6x+10) funktioniert nicht ....

Question

da das Integral im Zähler sowie im Nenner den gleichen Grad haben, habe ich erstmal eine Polynomdivision gemacht: Rausgekommen: 2 +((-3x-8)/x^2+6x+10)) Ich würde jetzt den Nenner Faktorisieren, aber der hat ja keine Nullstelle.. , also was macht man hier ?! kann mir das jemand lösen? Vielen Dank jegliche Hilfe .

Comments

Möchtest du danach integrieren?

Dann schau mal, was rauskommen könnte: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2x%5E2%2B9x%2B12)%2F(x%5E2%2B6x%2B10)

und überlege dir, wie das wohl gegangen ist.

2x + C hast du ja bereits.

Answer 1

Die Lösung des 2. Integrales ist nicht so ganz einfach.

Meistens läuft das auf  eine Aufspaltung in 2 Teilintegrale hinaus.

Dabei ist das 1. Integral so zu gestalten, das der Zähler die Ableitung des Nenners ist

(dafür gibt es ein Gesetz ->siehe Zettel) und das 2. Integral läuft auf das arctan - Integral hinaus.

(dabei wird die quadratische Ergänzung gebildet )

Zugegeben erfordert das einige Übung.

Answer 2

Wie du richtig bemerkst, hat der Nenner keine reelle Nullstelle. Das Nennerpolynim ist also unzerlegbar in ℝ. Dann heißt die Partialbruchzerlegung 2-3x/(x²+6x+10)-8/(x²+6x+10).