Korrektheit des Beweises der Irrationalität einer Primzahlwurzel

Question

ich habe mir den wahrscheinlich bekanntesten Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel von 2 angeschaut und mich gefragt, ob man den auf jede Primzahl p erweitern kann:

Angenommen, sqrt(p) wäre rational. Dann existiert ein natürliches teilerfremdes Zahlenpaar a,b [b != 0], für das gilt:

sqrt(p) = a/b

Durch Quadrieren ergibt sich

p = a²/b² ---> pb² = a²

Da pb² durch p teilbar ist, ist a² und somit a durch p teilbar. a lässt sich also auch als pc [c € N] darstellen, sodass gilt:

pb² = (pc)²
pb² = p²c²
b² = pc²

Dadurch müsste c² und c durch p teilbar sein. Damit ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme, weshalb sqrt(p) irrational ist.

Ich bin mir unsicher, ob ich den Beweis richtig geführt habe (da z.B. Wikipedia für die Irrationalität von sqrt(3) einen komplizierteren Beweis erklärt) und frage daher nach Feedback.

Answer 1

Ich finde an deinem Beweis nichts auszusetzen.

Answer 2

b² = pc²

Dadurch müsste c² und c durch p teilbar sein. Damit ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme, weshalb sqrt(p) irrational ist.

Wenn schon, dann muss da b² und b stehen.

Und warum aus p | b² folgt, dass auch p | b gilt, sollte man begruenden. (Der benutzte Satz hat einen Namen.)