Zeige, dass es genau zwei komplexe Zahlen C ≠ D gibt, so dass C^2 = D^2 = z

Question

Es sei z ∈ ℂ ohne 0.

Zeige, dass es genau zwei komplexe Zahlen C₁ ≠ C₂ gibt, so dass

C₁² = C₂² = z

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Für z = x + iy betrachte ich:

√z = √(IzI+x)/2 + i sgn⁺(y)√(IzI-x)/2

z = (√(IzI+x)/2 + i sgn⁺(y)√(IzI-x)/2)² = i² * (sgn⁺(y))² * (√(IzI-x)/2)² = -1 ((IzI-x)/4)

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Meine Fragen;

- wie komme ich in meiner Überlegung weiter?

- wei zeige ich, dass es keine anderen komplexen Zahlen gibt welche die Anfangsbedingung erfüllen.

 

Lg Tulbih

Answer 1

Fang nicht mit z an, sondern nimm zwei beliebige C1 und C2:

C1 = ( a + i b ) , C2 = ( c + i d )

C1 ² = a ² + i 2 a b - b ²

C2 ² = c ² + i 2 c d - d ²

Berechne nun, wann C1 ² = C2 ² ist:

C1 ² = C 2 ²

<=> a ² + i 2 a b - b ² = c ² + i 2 c d - d ²

<=> a ² - b ² + i 2 a b = c ² - d ² + i 2 c d

<=> a ² - b ² = c ² - d ² UND a b = c d

<=>

Fall 1: a = c UND b = d (dann allerdings  sind C1 und C2 gleich)

ODER

Fall 2: a = b UND c = d UND ab = cd

<=> a = b UND c = d UND a ² = c ²

<=>

Fall 2.1: a = b UND c = d UND a = c  ( dann allerdings gilt a = b = c = d, also C1 = C2 )

ODER

Fall 2.2: a = b UND c = d UND a = - c

Dann und nur dann (weil es keine anderen Fälle mehr gibt)  sind C1 und C2 verschieden, ihre Quadrate aber gleich.

Also: Die Zahlen lauten

C1 = a + i a  

C2 = - a - i a

Die Quadrate sind:

C1 ² = a ² + i 2 a ² - a ² = i 2 a ²

C2 ² = a ² + i 2 a ² - a ² = i 2 a ²

und die Summe der Quadrate ist:

z = C1 ² + C2 ² = i 4 a ²

Comments

Was ist denn damit gezeigt? Warum soll  a = b sein?
Die Quadrate von  a + bi  und  -a - bi  sind auch für  a ≠ b  gleich.

Answer 2

Ich rechne einfach mal alle c aus, für die c^2 = z gilt. (Annahme: ich kann so zeigen, dass es genau 2 Lösungen gibt, wenn z≠0 ist)

z = x + iy

c = a + ib

x + iy = (a + ib)^2

x + iy = a^2 - b^2 + 2abi

y = 2ab

x = a^2 - b^2 → a^2 = x + b^2

y^2 = 4a^2 b^2 = 4(x+b^2)b^2 = 4xb^2 + 4b^4

 4b^4 + 4x b^2 - y^2 =0            |quadr. Gl. für b^2

b^2 = 1/8 ( -4x ±√(16x^2 + 16y^2))

= 1/2(-x ± √(x^2 + y^2))

a^2 = x+b^2 = 1/2(x ±√(x^2 + y^2))

 

b = ±√( 1/2(-x ± √(x^2 + y^2)))

a = ±√( 1/2(x ±√(x^2 + y^2)))

Jetzt kommen theoretisch 4 ± Kombinationen vor.

Allerdings ist wegen y = 2ab das Vorzeichen von y bekannt,

ist y pos.

gilt (a = +√       und  b= +√       )

oder  (a = -√       und  b= -√       )

 

ist y neg. 

gilt (a = +√       und  b= -√       )

oder  (a = -√       und  b= +√       )

Das sind bereits die beiden Lösungen.

Nun noch zum 'inneren  ±'.

Da unter der Wurzel keine neg. Zahl stehen darf, fallen die inneren Minus als Alternativen weg.

 

b = ±√( 1/2(-x + √(x^2 + y^2)))

a = ±√( 1/2(x + √(x^2 + y^2)))

Insgesamt gibt es folglich genau 2 Wurzeln, wenn z≠0. qed

Comments

Hallo Lu

Danke vielmals für deine ausführliche Antwort.

Eventuell habe ich aber nun ein Problem, da ich den Schritt zu "y = 2ab und x = a²-b²" noch nicht bewiesen habe. Und ich dies wahrscheinlich nicht anwenden sollte.

Darum habe ich wahrscheinlich auch dem Tipp mit dem

√z = √(IzI+x)/2 + i sgn⁺(y)√(IzI-x)/2

bekommen.

Denkst du das spielt eine Rolle?

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Zu dem Lösungsweg;

b = ±√( 1/2(-x ± √(x² + y²)))

a = ±√( 1/2(x ±√(x² + y²)))

Ich sehe hier nicht 4 sondern 8 mögliche Antworten (4*eine ± Entscheindung)

Und am Schluss dann nicht 2 sondern 4 Wurzeln (2*eine ± Entscheidung)

Kannst du mir eventuell erklären warum du auf deine Anzahl kommst?

 

Beste Grüsse,

Tulbih

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 "y = 2ab und x = a²-b²" noch nicht bewiesen habe. Und ich dies wahrscheinlich nicht anwenden sollte.

Dieser Schritt beruht einzig aus der Tatsache, dass sich jede komplexe Zahl eindeutig in Real- und Imaginärteil zerlegen lässt.

x,y,a,b ... sind ja reelle Zahlen.

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Zu dem Lösungsweg;

b = ±√( 1/2(-x ± √(x² + y²)))

a = ±√( 1/2(x ±√(x² + y²)))

Ich sehe hier nicht 4 sondern 8 mögliche Antworten (4*eine ± Entscheindung)

Und am Schluss dann nicht 2 sondern 4 Wurzeln (2*eine ± Entscheidung)

Verwendet die Ungleichung:

√(x^2 + y^2) ≥ √(x^2) = |x| ≥ x     und ≥-x

Und schliesst so das - in den inneren ± aus.